Rumani TST 2013


Bài 1. Cho số nguyên n\geq 2,a_{n},b_{n},c_{n} là các số nguyên thỏa mãn

\displaystyle\left( \sqrt[3]{2}-1\right) ^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt[3]{2}+c_{n}\sqrt[3]{4}.

Chứng minh rằng c_{n}\equiv 1\pmod{3} \Leftrightarrow n\equiv 2\pmod{3}.

Bài 2. Hai đường tròn \Omega \omega tiếp xúc với nhau tại P (\omega nằm trong \Omega ). Một dây AB của \Omega tiếp xúc với \omega tại C; đường thẳng PC cắt \Omega tại điểm thứ hai Q. Các dây QRQS của \Omega tiếp xúc với \omega . Gọi I,X,Y là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác APB, ARB,ASB, tương ứng. Chứng minh rằng \widehat{PXI}+\widehat{PYI}=90^{\circ }.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho: Nếu S là một tập hữu hạn các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle\sum\limits_{s\in S}\frac{1}{s} là một số nguyên, thì \displaystyle\sum\limits_{s\in S}\frac{1}{f\left( s\right) } cũng là một số nguyên.

Bài 4. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Tập S gồm tất cả các đường chéo của \left( 4n-1\right) -giác được phân hoạch thành k tập, S_{1},S_{2},\ldots ,S_{k}, sao cho, với mỗi cặp chỉ số phân biệt ij, một đường chéo trong S_{i} cắt một đường chéo trong S_{j}. Tìm giá trị lớn nhất của k theo n.

Bài 5. Cho các số thực dương ab thỏa mãn [na] chia hết [nb] với mỗi số nguyên dương n. Chứng minh rằng ab là các số nguyên dương.

Bài 6. Các đỉnh của hai tam giác nhọn cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn Euler của một trong hai tam giác đi qua trung điểm của hai cạnh của tam giác còn lại. Chứng minh rằng hai tam giác có chung đường tròn Euler.

Bài 7. Cho S là tập tất cả các số hữu tỷ biểu diễn được dưới dạng

\displaystyle \frac{(a_1^2+a_1-1)(a_2^2+a_2-1)\ldots (a_n^2+a_n-1)}{(b_1^2+b_1-1)(b_2^2+b_2-1)\ldots (b_n^2+b_n-1)}với các số nguyên dương n, a_1, a_2 ,\ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố nằm trong S.

Bài 8.  Cho k là số nguyên lớn hơn 1. Xây dựng một tập vô hạn \mathcal{A} các tập con của \mathbb{N}^* có tính chất sau:

(a) mỗi k tập khác nhau của \mathcal{A} có đúng một phần tử chung;

(b) mỗi k+1 tập khác nhau của \mathcal{A} có giao bằng rỗng.

Bài 9. Cho ab là hai số square-free khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại c>0 sao cho \displaystyle\left | \{n\sqrt{a}\}-\{n\sqrt{b}\} \right |>\frac{c}{n^3}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 10. Cho \gamma là một đường tròn và P là một điểm nằm ngoài nó. Hai đường thẳng bất kỳ ll' qua P cắt đường tròn tại các điểm X, Y , tương ứng X', Y' , sao cho X nằm giữa PY, X' nằm giữa PY'. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác PXY'PX'Y đi qua một điểm cố định.

Bài 11. Xác định số nguyên dương r lớn nhất sao cho với mỗi 5 tập con có 500 phần tử của \{1,2,\ldots,1000\}, tồn tại 2 trong chúng có ít nhất r phần tử chung.

Bài 12. Cho fg là hai đa thức khác 0 với hệ số nguyên thỏa mãn \deg f>\deg g. Giả sử với vô hạn số nguyên tố p, đa thức pf+g có nghiệm hữu tỷ. Chứng minh rằng f có nghiệm hữu tỷ.

Bài 13. Cho điểm O và số nguyên n\geq 3. Xét một họ vô hạn \mathcal{D} các đĩa đóng đơn vị trong mặt phẳng sao cho

(a) Không đĩa nào trong \mathcal{D} chứa O; và

(b) Với mỗi số nguyên dương k < n, đĩa đóng bán kính k + 1 với tâm O chứa tâm của ít nhất k đĩa trong \mathcal{D}.

Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng qua O có điểm chung với ít nhất \frac{2}{\pi} \log \frac{n+1}{2} đĩa trong \mathcal{D}.

Bài 14. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1S là tập các tập con n phần tử của tập \{1,2,\ldots,2n\}. Tìm \max_{A\in S}\left (\min_{x,y\in A, x \neq y} [x,y]\right ) ở đây [x,y] là bội chung nhỏ nhất của x, y.

Bài 15. Cho số nguyên n\geq 2, xác định tất cả các đa thức f khác hằng với hệ số phức thỏa mãn 1+f(X^n+1)=f(X)^n.

Bài 16. Cho n là một số nguyên dương và x_1, \ldots, x_n là các số thực dương. Chứng minh rằng \displaystyle\min\left ( x_1,\frac{1}{x_1}+x_2, \cdots,\frac{1}{x_{n-1}}+x_n,\frac{1}{x_n} \right )\geq

\displaystyle 2\cos \frac{\pi}{n+2}\max\left ( x_1,\frac{1}{x_1}+x_2,\cdots,\frac{1}{x_{n-1}}+x_n,\frac{1}{x_n} \right ).

Bài 17. Cho K là một tứ giác lồi và l là một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng độ dài của đoạn l\cap K không vượt quá độ dài của một trong hai đường chéo của K.

Bài 18. Cho số nguyên dương n, xét một bảng tam giác với các phần tử a_{ij}, ở đây i chạy từ 1 đến nj chạy từ 1 đến n-i+1. Các phần tử của bảng bằng 0 hoặc 1, và, với mỗi i > 1 và mỗi j , a_{ij} bằng 0 nếu a_{i-1,j} = a_{i-1,j+1}, và a_{ij} bằng 1 trong trường hợp còn lại. Gọi S là tập các dãy nhị phân độ dài n, xác định ánh xạ f \colon S \to S bởi f \colon (a_{11}, a_{12},\cdots ,a_{1n}) \to (a_{n1}, a_{n-1,2}, \cdots , a_{1n}). Tìm số điểm cố định của f.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s