Rumani TST 2013


Bài 1. Cho số nguyên n\geq 2,a_{n},b_{n},c_{n} là các số nguyên thỏa mãn

\displaystyle\left( \sqrt[3]{2}-1\right) ^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt[3]{2}+c_{n}\sqrt[3]{4}.

Chứng minh rằng c_{n}\equiv 1\pmod{3} \Leftrightarrow n\equiv 2\pmod{3}.

Bài 2. Hai đường tròn \Omega \omega tiếp xúc với nhau tại P (\omega nằm trong \Omega ). Một dây AB của \Omega tiếp xúc với \omega tại C; đường thẳng PC cắt \Omega tại điểm thứ hai Q. Các dây QRQS của \Omega tiếp xúc với \omega . Gọi I,X,Y là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác APB, ARB,ASB, tương ứng. Chứng minh rằng \widehat{PXI}+\widehat{PYI}=90^{\circ }.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho: Nếu S là một tập hữu hạn các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle\sum\limits_{s\in S}\frac{1}{s} là một số nguyên, thì \displaystyle\sum\limits_{s\in S}\frac{1}{f\left( s\right) } cũng là một số nguyên.

Continue reading “Rumani TST 2013”