# IMO 2014 – Day 1

1. Let $a_0 < a_1 < a_2 \ldots$ be an infinite sequence of positive integers. Prove that there exists a unique integer $n\geq 1$ such that
$a_n < \dfrac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.$

2. Let $n \ge 2$ be an integer. Consider an $n \times n$ chessboard consisting of $n^2$ unit squares. A configuration of $n$ rooks on this board is peaceful  if every row and every column contains exactly one rook. Find the greatest positive integer $k$ such that, for each peaceful configuration of $n$ rooks, there is a $k \times k$ square which does not contain a rook on any of its $k^2$ unit squares.

3. Convex quadrilateral $ABCD$ has $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. Point $H$ is the foot of the perpendicular from $A$ to $BD$. Points $S$ and $T$ lie on sides $AB$ and $AD$, respectively, such that $H$ lies inside triangle $SCT$ and $\angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ},$

$\angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}.$ Prove that line $BD$ is tangent to the circumcircle of triangle $TSH$.

## 6 thoughts on “IMO 2014 – Day 1”

1. Đề năm nay có vẻ … hiền.

2. Theo thầy bạn Linh nên lập một cái bảng gồm hai cột n và k. Đoán xem kết quả thế nào?

1. em nghĩ kết quả k là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn k^2 < n

1. Thầy cho là em tự lập bảng với n bằng vài giá trị rồi. Nếu đoán vậy thì chứng minh với n bằng m.m cộng 1 xem? Nhớ là phải đủ HIỂU bài toán nhé!