Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán của Quảng Ninh năm 2014


Bài 1. Cho biểu thức A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right) với x\geq 0, x\not=4, x\not=9.
1/. Rút gọn A;
2/. Tìm x để \dfrac{1}{A} nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2.
1/. Giải hệ phương trình \begin{cases}2x^2-y^2=1\\ xy+x^2=2.\end{cases}
2/. Giải phương trình x^2+\dfrac{4x^2}{(x+2)^2}=5.
Bài 3. Cho a,b,c đôi một khác nhau, c\not =0. Chứng minh rằng nếu các phương trình x^2+ax+bc=0,x^2+bx+ca=0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của x^2+ca+ab=0.
Bài 4. Cho tam giác ABC với AB>AC. Biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc \widehat{A} thành ba phần bằng nhau.
1/. Chứng minh tam giác vuông tại A;
2/. Gọi O là giao điểm của hai phân giác trong BI,CJ. Chứng minh rằng 2OB.OC=IB.CJ;
3/. Cho DEF là tam giác vuông tại D có một góc 30^{\circ} nội tiếp tam giác ABC\,\, (D\in BC,E\in AC, F\in AB). Tìm vị trí của D,E,F để tam giác DEF có diện tích bé nhất.
Bài 5. Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c\leq 1. Chứng minh rằng
\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}+\dfrac{1}{a^2+2bc}\geq 9.