8 thoughts on “VMO 2014 – Day 1”

  1. Đánh giá và giải sơ lược ngày 1
    Bài 1
    Bài này thì em làm theo hướng 1)tìm một công thức “hẳn hoi” cho x_n và y_n 2)tính một vài cái đầu rồi quy nạp chỉ ra x_n = 2sin(r/(3.2^n)). Đến đây thì xong. Bài này khó chính là ở chỗ 2). Phải làm về lượng giác quen rồi thì mới có thể tìm ra, nếu không thì rất lâu.
    Bài 2
    Lâu lắm mới thấy đa thức khả quy có trong bài thi, và lại là câu 2. Như một thói quen,đầu tiên ta xem xét các tính chất của P(x) như: nghiệm, so với 0, bậc, bậc của các đa thức thừa số, tính monic,… Và ta rút ra một ý quan trọng: Nếu phân tích được thì có ít nhất 2 đa thức phải có bậc 2 biệt thức âm và giả sử chúng monic, gọi là Q(x)=X^2+aX+b và R(x)=X^2+cX+d. Tiếp đó do P(1)=P(6)=13, dùng nó để tìm ra a,b,c,d và ta sẽ thấy có mâu thuẫn. Bài này yêu cầu tỉ mỉ và hon hết là những hiểu biết cơ bản về đa thức
    Bài 4
    Mang Tiếng bài 4 thật không xứng đáng cho bài này vì nó không quá khó. Chứng minh a) chỉ cần chỉ ra AB=AK, DC=DK, tức là chỉ ra gABK = gAKB. Chỗ này chỉ là biến đổi góc tầm thường. Câu b) rất quen thuộc. Chú ý là K là trực tâm AID và AID nội tiếp (O), nên PK qua trung điểm AD chỉ khi nó cắt (O) tại S sao cho IS là đường kính (bài toán quen thuộc). Như vậy chỉ cần chứng minh gIPS
    =90. Mà:
    gIPS=gIPB+gBPK=gICB+gBNK=gICB+gNKC+gNCK=gNKC+gKCI
    Vậy chỉ phải chứng minh M là trực tâm IKC. Cái này rất dễ.

  2. Bài 3
    Bài này mới xứng là khó nhì đề thi năm nay (khó nhất là BĐT). Đây là sơ lược chứng minh của em. Bài này em dùng chia kẹo Euler
    Định nghĩa một dãy đỉnh là một dãy các đỉnh cùng màu kề nhau (có thể chỉ gồm 1 đỉnh). Độ dài của nó là số đỉnh của nó
    a) Lần lượt chứng minh:
    i) nếu dãy đỉnh có độ dài n thì nó có n-1 cặp nên B B). Chứng minh iii) ta dùng i)
    Như vậy mọi (A,B) thỏa A – B = 55 và -1<B<24 là đáp số của a)
    b) Từ chứng minh của iii) suy ra B = 14 chỉ khi có đúng 10 dãy mỗi loại
    gọi x_i ,y_i lần lượt là độ dài của dãy xanh,đỏ thứ i
    Ta có tổng các X_i là 24 ,Y_i là 79
    như vậy theo chia kẹo Euler ta có A bộ X_i và B bộ Y_i thỏa mãn (A, B mọi người tính nhé)
    cố định một điểm A, theo chiều kim đồng hồ, ta tô như sau: theo chiều kim đồng hồ từ A ta tô X_1 điểm xanh, rồi Y_1 điểm đỏ, rồi X_2 điểm xanh,… Cách tô này chỉ bị trùng khi có 2 bộ X_m,Y_m và
    X'_m, Y'_m thỏa mãn X'_m = X_(m+k) , Y'_m = Y_(m+k), Vì (79 , 24) = (79 , 10) = 1
    Đáp số là AB/10

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s