Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2005-2006


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức P(x)=\dfrac{2\sqrt{x}-3}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}.

a)Rút gọn P(x);

b)Giải phương trình P(x)=\dfrac{4}{x-5}.

Bài 2.

Xét phương trình mx^2+(2m-1)x+m-2=0.

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=4;

b)Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỷ.

Bài 3.

Hai xe máy đi từ A đến B. Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai nửa giờ với vận tốc nhỏ hơn vận tốc xe thứ hai 5km một giờ. Biết rằng hai xe đến B cùng một lúc và quãng đường AB dài 140km. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 4.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R, lấy điểm C trên đoạn AO sao cho C khác A,O. Kẻ hai tia AxBy vuông góc với AB và ở cùng một phía với nửa đường tròn. Điểm M di động trên nửa đường tròn nhưng khác AB. Một đường thẳng vuông góc với CM tại M cắt AxP, cắt ByQ; AM cắt CPEBM cắt CQF.

a)Chứng minh bốn điểm M,E,C,F nằm trên một đường tròn;

b)Chứng minh EF||AB;

c)Khi C là trung điểm của AO, tìm vị trí của M trên nửa đường tròn để APQB có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị này.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Tính giá trị của biểu thức A=\dfrac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}:\left(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}\right);

b)Chứng minh rằng với x>0x\not = 1, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc biến \dfrac{(1-x)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}\cdot\left(\dfrac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right).

Bài 2.

a)Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3)=3;

b)Giải hệ phương trình

\begin{cases}x+y=2(x-2)(y+1)+1\\ -3x+2y=(x-2)(y+1)-8.\end{cases}

Bài 3.

a)Chứng minh rằng ba đường thẳng sau không đồng quy

y=3x+7(d_1);y=-2x-3(d_2);y=2x-7(d_3);

b)Chứng minh rằng khi m thay đổi các đường thẳng (m+1)x-y-m-3=0 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm này.

Bài 4.

Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d không cắt đường tròn. Lấy điểm M trên d, kẻ hai tiếp tuyến MAMB tới đường tròn, OM cắt AB tại H.

a)Chứng minh rằng OH\cdot OM=R^2;

b)Gọi góc AMB bằng \alpha, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AMB theo R\alpha;

c)Chứng minh rằng khi M chạy trên d thì H chạy trên một đường tròn cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng với mỗi m ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm

x^2+(m-1)x+2m^2=0x^2+4mx-m+2=0.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2000-2001


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. Cho biểu thức

A=\dfrac{y^2-3y\sqrt{x}+2x}{y\sqrt{x}-x}.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=7-4\sqrt{3}y=\sqrt{20-8\sqrt{6}}+\sqrt{11-4\sqrt{6}}.

Bài 2. a)Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 60 km, cả đi và về mất 5 giờ. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 5 km/h.

b)Cho phương trình bậc hai x^2-2(m-1)x+2mn-m^2-2n^2=0,

ở đây m,n là các tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho không thể có nghiệm kép với mỗi m,n.

Bài 3. Giải hệ phương trình

\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4.\end{cases}

Bài 4. Cho đường tròn (O), đường kính BC, A là một điểm trên đường tròn khác B,C. Qua A,C kẻ các tiếp tuyến với (O), hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Hạ AH vuông góc với BC. Đường thẳng BM cắt AH tại N và cắt (O) tại điểm thứ hai K\not =B.

a)Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc HAM;

b)Chứng minh rằng AB^2=BN\cdot BK;

c)Đường thẳng qua O và song song với BM cắt AC tại T. Chứng minh rằng bốn điểm O,T,K,A cùng nằm trên một đường tròn.