25/11/2013


Bài 79.  Chứng minh rằng nếu n\geq r là các số nguyên dương thì

C_r^r+C_{r+1}^r+\cdots+C_n^r=C_{n+1}^{r+1}.

Áp dụng 1. Cho n\geq r là các số nguyên dương. Xét tất cả các tập con r phần tử của tập \{1,2,\cdots,n\}. Mỗi tập con này có phần tử nhỏ nhất. Gọi F(n,r) là trung bình cộng của các phần tử nhỏ nhất này. Chứng minh rằng

F(n,r)=\dfrac{n+1}{r+1}.

Áp dụng 2. Cho n là một số nguyên dương. Tam giác hoá bậc n của một tam giác đều là một mô hình được xây dựng như sau

i) Chia mỗi cạnh của tam giác thành n+1 phần bằng nhau bởi n điểm;

ii) Bổ sung 3n đoạn thẳng nối 3n cặp điểm trên các cạnh kề sao cho các đoạn thẳng này song song với cạnh thứ ba.

Tính số các hình bình hành chứa trong tam giác hoá bậc n của tam giác đều.

Bài 80. Cho n là một số nguyên dương. Gọi p_n(k) là số các hoán vị của \{1,2,\cdots,n\} có đúng k điểm cố định. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^nkp_n(k)=n!.

Bài 81. Cho m,n là các số nguyên dương và a_{ij}(1\leq i\leq m,1\leq j\leq n)mn số phức. Chứng minh rằng

\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^ma_{ij};

Áp dụng. Cho n là một số nguyên dương. Với mỗi hoán vị \pi của tập \{1,2,\cdots,n\} ta đặt \displaystyle f(\pi)=\sum_{k=1}^n|k-\pi(k)|. Tính tổng \displaystyle\sum f(\pi) trên tất cả các hoán vị của \{1,2,\cdots,n\}.

Bài 82. Cho X=\{x_1,x_2,\cdots,x_m\},Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_n\} với m,n là các số nguyên dương, và A\subset X\times Y. Với x_i\in X, đặt A(x_i,.)=(\{x_i\}\times Y)\cap A và với y_j\in Y đặt A(.,y_j)=(X\times\{y_j\})\cap A.

a) Chứng minh nguyên lý Fubini

\sum_{i=1}^m|A(x_i,.)|=|A|=\sum_{j=1}^n|A(.,y_j)|;

b) Sử dụng câu trên hoặc cách khác để giải bài toán sau: Có n>2 điểm trên mặt phẳng sao cho ba điểm bất kỳ trong chúng là các đỉnh của một tam giác vuông. Tìm giá trị lớn nhất của n.

Bài 83. Cho một tập M7 phần tử. Giả sử A_1,A_2,\cdots,A_7 là các tập con thực sự của M sao cho

a) Mỗi cặp phần tử của M thuộc đúng một tập A_i, và

b) |A_i|\geq 3\,\,\forall i=1,2,\cdots,7.

Chứng minh rằng mỗi hai tập con trên có đúng một phần tử chung.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s