21/11/2013


Bài 51. f\in\mathbb{Z}[x] là một đa thức có bậc k>1 thỏa mãn \sqrt[k]{f(n)}\in\mathbb{Z}\,\,\forall n\in\mathbb{N}. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên a,b sao cho f(x)=(ax+b)^k\,\,\,\forall x\in\mathbb{Z}.

Bài 52. Cho các số nguyên dương a,b,c>1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n tồn tại số nguyên dương k sao cho a^k+b^k=2c^n thì a=b.

Bài 53. Cho số nguyên dương k và các số thực dương a_1,a_2,\cdots,a_k sao cho không phải tất cả chúng là số nguyên. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương n sao cho n[a_1n]+[a_2n]+\cdots+[a_kn] là nguyên tố cùng nhau.

Bài 54. Cho f\in\mathbb{Z}[x] là monic. Chứng minh rằng nếu phương trình f(x)=2^n có nghiệm nguyên dương với mỗi n\in\mathbb{N}^* thì \deg f=1.

Bài 55. Tìm tất cả f\in\mathbb{Z}[x] sao cho nó là monic và f(\mathbb{Z}) đóng dưới phép nhân.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s