18/11/2013


Bài 43. Chứng minh rằng nếu một dãy số nguyên hội tụ thì nó là hằng kể từ lúc nào đó.

Bài 44. Cho f,g\in\mathbb{Z}[x] khác hằng thỏa mãn f(n)|g(n) với vô hạn số nguyên dương n. Chứng minh rằng f là ước của g trong \mathbb{Q}[x].

Bài 45. Cho P,Q\in\mathbb{Z}[x]a_n=n!+n\,\,\forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)} là một số nguyên với mỗi n\in\mathbb{N}^* thì \dfrac{P(n)}{Q(n)} là một số nguyên với mỗi số nguyên dương n thỏa mãn Q(n)\not=0.

Bài 46. Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a\not=0an^2+bn+c là bình phương của một số tự nhiên với mỗi số nguyên dương n. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên x,y sao cho a=x^2,b=2xy,c=y^2.

Bài 47. Chứng minh rằng không tồn tại P,Q,R\in\mathbb{Z}[x] thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây

1/. \deg P=\deg Q=\deg R=2;

2/. Với mỗi hai số nguyên x,y, tồn tại số nguyên z sao cho P(x)+Q(y)=R(z).

Bài 48. Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho a.2^n+b là bình phương của một số tự nhiên với mỗi số nguyên dương n.

Bài 49. Cho (a_n)_{n\geq 1} là dãy tăng ngặt các số nguyên dương thỏa mãn a_n|a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\,\,\,\forall n>2013.

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho a_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\,\,\,\forall n>k.

Bài 50. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương n sao cho phương trình n=a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11} không có nghiệm nguyên.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s