25/11/2013


Bài 79.  Chứng minh rằng nếu n\geq r là các số nguyên dương thì

C_r^r+C_{r+1}^r+\cdots+C_n^r=C_{n+1}^{r+1}.

Áp dụng 1. Cho n\geq r là các số nguyên dương. Xét tất cả các tập con r phần tử của tập \{1,2,\cdots,n\}. Mỗi tập con này có phần tử nhỏ nhất. Gọi F(n,r) là trung bình cộng của các phần tử nhỏ nhất này. Chứng minh rằng

F(n,r)=\dfrac{n+1}{r+1}.

Áp dụng 2. Cho n là một số nguyên dương. Tam giác hoá bậc n của một tam giác đều là một mô hình được xây dựng như sau

i) Chia mỗi cạnh của tam giác thành n+1 phần bằng nhau bởi n điểm;

ii) Bổ sung 3n đoạn thẳng nối 3n cặp điểm trên các cạnh kề sao cho các đoạn thẳng này song song với cạnh thứ ba.

Tính số các hình bình hành chứa trong tam giác hoá bậc n của tam giác đều.

Continue reading “25/11/2013”

Peter Scholze to receive 2013 Sastra Ramanujan Prize


german professor bags001

The 2013 SASTRA Ramanujan Prize will be awarded to Professor Peter Scholze of the University of Bonn, Germany. This annual prize of $10,000 established in 2005 by SASTRA University is for very young mathematicians for outstanding contributions to areas influenced by Srinivasa Ramanujan. The age limit for the prize has been set at 32 because Ramanujan achieved so much in his brief life of 32 years. The 2013 prize will be awarded during Dec 21-22 at the International Conference on Number Theory and Galois Representations at SASTRA University in Kumbakonam, Ramanujan’s hometown. “Professor Scholze who will turn 26 in December, is the youngest full professor in Germany and the youngest recipient of the SASTRA Ramanujan Prize as well” said Krishnaswami Alladi, Chair of the Prize Committee.
Professor Scholze has made revolutionary contributions to several domains at the interface of Arithmetic Algebraic Geometry and the Theory of Automorphic Forms, and especially in the area of Galois Representations. Already in his Masters Thesis he gave new proofs of the Local Langland Conjecture for p-adic local fields and for general linear groups as well. His approach was strikingly different and much simpler compared to earlier approaches, yet even more efficient. This fundamental work done in 2010 appeared in two papers in the prestigious journal Inventiones Mathematicae in 2013.
While his Masters thesis was groundbreaking, his PhD thesis written under the direction of Professor Michael Rapoport at the University of Bonn was a more marvellous breakthrough and a step up in terms of originality and insight. In his thesis he developed a new p-adic machine called Perfectoid Spaces and used it to prove brilliantly a significant part of the weight monodromy conjecture due to 1978 Fields Medalist Pierre Deligne, thereby breaking an impasse of more than 30 years. He then developed his theory of perfectoid spaces to make advances of other  important problems that had resisted solution, such as a problem on spectral sequences that 2010 Abel Prize winner John Tate had raised four decades earlier. Work in his PhD thesis appeared in a massive paper in the publications of the IHES in 2012.
Professor Scholze’s most recent work is on Galois representations which in particular has startling implications on the cohomology of locally symmetric spaces. This work again represents the first great progress on certain questions in 40 years.

22/11/2013


Bài 56. (Tháp Hà Nội) Bài toán này được đưa ra bởi nhà Toán học Pháp Edouard Lucas vào năm 1883. Có ba cái cọc và 8 cái đĩa được đặt trên một cái cọc, đĩa bé nằm trên đĩa to như hình dưới đây:

thaphanoi

Ta có mong muốn là chuyển tất cả các đĩa này sang một cái cọc khác trong hai cọc còn lại. Sao cho mỗi lần chỉ chuyển một đĩa và không bao giờ đĩa lớn nằm trên đĩa nhỏ. Thử vài lần ta thấy có thể làm được điều này, chỉ có điều là hơi lâu mà thôi.

Có người kể rằng Lucas còn làm bài toán với tháp Brahma với 64 cái đĩa với cùng luật chơi như trên nhưng mỗi ngày chỉ chuyển một cái đĩa. Và ông có nói rằng khi hoàn thành công việc thì Trái đất sẽ nổ tung.

Câu hỏi. Nếu ta có n\in\mathbb{N}^* cái đĩa thì cần ít nhất bao nhiêu bước để chuyển chúng sang một cái cọc khác?

Continue reading “22/11/2013”

21/11/2013


Bài 51. f\in\mathbb{Z}[x] là một đa thức có bậc k>1 thỏa mãn \sqrt[k]{f(n)}\in\mathbb{Z}\,\,\forall n\in\mathbb{N}. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên a,b sao cho f(x)=(ax+b)^k\,\,\,\forall x\in\mathbb{Z}.

Bài 52. Cho các số nguyên dương a,b,c>1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n tồn tại số nguyên dương k sao cho a^k+b^k=2c^n thì a=b.

Bài 53. Cho số nguyên dương k và các số thực dương a_1,a_2,\cdots,a_k sao cho không phải tất cả chúng là số nguyên. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương n sao cho n[a_1n]+[a_2n]+\cdots+[a_kn] là nguyên tố cùng nhau.

Bài 54. Cho f\in\mathbb{Z}[x] là monic. Chứng minh rằng nếu phương trình f(x)=2^n có nghiệm nguyên dương với mỗi n\in\mathbb{N}^* thì \deg f=1.

Bài 55. Tìm tất cả f\in\mathbb{Z}[x] sao cho nó là monic và f(\mathbb{Z}) đóng dưới phép nhân.

18/11/2013


Bài 43. Chứng minh rằng nếu một dãy số nguyên hội tụ thì nó là hằng kể từ lúc nào đó.

Bài 44. Cho f,g\in\mathbb{Z}[x] khác hằng thỏa mãn f(n)|g(n) với vô hạn số nguyên dương n. Chứng minh rằng f là ước của g trong \mathbb{Q}[x].

Bài 45. Cho P,Q\in\mathbb{Z}[x]a_n=n!+n\,\,\forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)} là một số nguyên với mỗi n\in\mathbb{N}^* thì \dfrac{P(n)}{Q(n)} là một số nguyên với mỗi số nguyên dương n thỏa mãn Q(n)\not=0.

Bài 46. Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a\not=0an^2+bn+c là bình phương của một số tự nhiên với mỗi số nguyên dương n. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên x,y sao cho a=x^2,b=2xy,c=y^2.

Bài 47. Chứng minh rằng không tồn tại P,Q,R\in\mathbb{Z}[x] thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây

1/. \deg P=\deg Q=\deg R=2;

2/. Với mỗi hai số nguyên x,y, tồn tại số nguyên z sao cho P(x)+Q(y)=R(z).

Bài 48. Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho a.2^n+b là bình phương của một số tự nhiên với mỗi số nguyên dương n.

Bài 49. Cho (a_n)_{n\geq 1} là dãy tăng ngặt các số nguyên dương thỏa mãn a_n|a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\,\,\,\forall n>2013.

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho a_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\,\,\,\forall n>k.

Bài 50. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương n sao cho phương trình n=a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11} không có nghiệm nguyên.