16/11/2013


Bài 18. Chứng minh định lý Wilson.

Bài 19. Cho số nguyên dương lẻ n>1. Gọi S là tập các số nguyên x\in [n] sao cho \gcd (x,n)=\gcd (x+1,n)=1. Chứng minh rằng \displaystyle\prod_{x\in S}x\equiv 1\pmod{n}.

Bài 20. Cho số nguyên tố p>3. Chứng minh rằng nếu ab là các số nguyên dương thỏa mãn

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{p-1}=\dfrac{a}{b}

thì a chia hết cho p^2.

Bài 21. Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình x^2+1\equiv 0\pmod{p} có nghiệm nguyên khi và chỉ khi p=2 hoặc p\equiv 1\pmod{4}. Từ kết quả này hãy đưa ra một chứng minh cho định lý Fermat về tổng của hai bình phương.

Bài 22. (Euler,1749)

Đặt S=\{x^2+y^2|\,x,y\in\mathbb{N}\}.

a) Chứng minh rằng ab\in S\,\,\forall (a,b)\in S^2;

b) Chứng minh rằng nếu m\in Sp là một số nguyên tố trong S thỏa mãn p|m thì \frac{m}{p}\in S;

c) Chứng minh rằng nếu a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a\in S,b\not\in Sb|a thì \frac{a}{b} có ít nhất một ước không nằm trong S;

d) Gọi T là tập các số nguyên dương có ít nhất một bội có dạng a^2+b^2 với ab là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng nếu t_1\in T-S thì có t_2\in T-S sao cho t_2<t_1. Từ đó suy ra rằng T\subset S;

e) Cho số nguyên tố p=4n+1\, (n\in\mathbb{N}^*). Chứng minh rằng p là ước của (i+1)^{4n}-i^{4n} với mỗi i=1,2,\cdots,4n-1. Từ đó suy ra p\in S.

Bài 23. Cho tập khác rỗng X và một ánh xạ f:X\to X. Ánh xạ f được gọi là một involution trên X nếu f(f(a))=a\,\,\forall a\in X. Chứng minh rằng nếu X là một tập hữu hạn khác rỗng, f là một involution trên X thì |X||X_f| là cùng tính chẵn lẻ. Ở đây X_f là tập các điểm bất động của f.

Bài 24. (Don Zagier,1990) Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p\equiv 1\pmod{4}S là tập các bộ ba (a,b,c) các số nguyên dương sao cho a^2+4bc=p. Xét các ánh xạ f,g:S\to S được xác định bởi f(a,b,c)=(a,c,b)\,\,\forall (a,b,c)\in Sg(a,b,c)=(a+2c,c,b-a-c) nếu a<b-c, =(2b-a,b,a-b+c) nếu b-c<a<2b, =(a-2b,a-b+c,b) nếu a>2b với mỗi (a,b,c)\in S.

1) Chứng minh rằng f,g là các involution trên S;

2) Chứng minh rằng |S_g|=1;

3) Chứng minh rằng có các số nguyên dương a,b để p=a^2+b^2.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s