14/11/2013


Bài 12. Cho p là một số nguyên tố có dạng 4k+3\,\, (k\in\mathbb{N} và hai số nguyên a,b. Chứng minh rằng a^2+b^2\equiv 0\pmod{p} khi và chỉ khi a\equiv 0\pmod{p}b\equiv 0\pmod{p}. Từ đó suy ra rằng có vô hạn các số nguyên tố có dạng 4k+1\,\, (k\in\mathbb{N}).

Bài 13. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 7|2^n-1. Chứng minh rằng không có số nguyên dương n thỏa mãn 7|2^n+1.

Bài 14. Chứng minh rằng tập \{2^n-3|n=2,3,\cdots\} có một tập con vô hạn S sao cho hai phần tử khác nhau bất kì của S nguyên tố cùng nhau.

Bài 15. Kí hiệu \mathbb{P} là tập tất cả các số nguyên tố. Giả sử rằng M là một tập con của \mathbb{P} thoả mãn các điều kiện sau

a) M có ít nhất ba phần tử;

b) Với mỗi tập con thực sự, khác rỗng và hữu hạn A của M , các ước nguyên tố của số -1+\displaystyle\prod_{p\in A}p cũng thuộc M.

Chứng minh rằng M=\mathbb{P}.

Bài 16. Tìm tất cả các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với mỗi số hạng của dãy (a_k) xác định bởi a_n=2^n+3^n+6^n-1\,\,\forall n\geq 1.

Bài 17. Dãy số (u_n) xác định bởi u_1=0,u_2=14,u_3=-18

u_{n+1}=7u_{n-1}-6u_{n-2}\,\,\forall n\geq 3.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p ta có p|u_p.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s