Giới hạn siêu việt


Trong bài này ta sẽ quan tâm đến các giới hạn của các hàm số có sự tham gia của hàm mũ và loga. Các giới hạn này thường được tính bằng cách biến đổi khéo léo để rồi dùng các giới hạn đã biết sau đây

\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1;\,\,\,\,\,\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+x)}{x}=1.

Bài 1. Tính các giới hạn

L_1=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{\sin 2x}-e^{\sin x}}{\sin x};

L_2=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-2x^2}-\sqrt[3]{1+x^2}}{\ln (1+x^2)};

L_3=\lim_{x\to 2}\dfrac{2^x+2^{3-x}-6}{\sqrt{2^{-x}}-2^{1-x}}.

Bài 2. Tính các giới hạn

L_4=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3^{x+1}+4^{x+1}}{3^x+4^x};

L_5=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x\sin x}{x^2+1}.

Bài 3. Tính các giới hạn

L_6=\lim_{x\to 0^+}(1+3x)^{1/x};\,\,\, L_7=\lim_{x\to 0^+}(1-3x)^{\dfrac{1-x}{x}}.

Bài 4. Tính các giới hạn

L_8=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{\tan 2x}-e^{\tan x}}{x};

L_9=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln (\cos 2x)}{\ln (\cos 3x)}.

Bài 5. Tính giới hạn

L_{10}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x^2}\cos 4x-1}{x^2}.

Bài 6. Tính giới hạn

L_{11}=\lim_{x\to 0}\dfrac{3^x-2^x}{7^x-5^x}.

Bài 7. Tính các giới hạn

L_{12}=\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac{1}{\sin x}};

L_{13}=\lim_{x\to +\infty}\left(\sin\dfrac{1}{x}+\cos\dfrac{1}{x}\right)^x.

Bài 8. Tính các giới hạn

L_{14}=\lim_{x\to 0}(1+x^2)^{\cot^2x};

L_{15}=\lim_{x\to 0}\left(2e^{\dfrac{x}{x^2+1}}-1\right)^{\dfrac{x^2+1}{x}}.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=1+2\sqrt{2}-3\sqrt{8}+\sqrt{32};

b)B=(\sqrt{x}+1)\cdot (\sqrt{x}-1)+1 với x\geq 0.

Bài 2.

Cho phương trình x^2+2mx-m^2=0.

a)Giải phương trình với m=1;

b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Năm trước. hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 750 tấn thóc. Năm sau đơn vị thứ nhất làm vượt mức 14/100 và đơn vị thứ hai làm vượt mức 10/100 so với năm trước nên cả hai đơn vị thu hoạch được 845 tấn thóc. Hỏi năm trước mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Bài 4.

Cho (O;R) và một dây AB cố định (AB<2R). Trên cung lớn AB lấy hai điểm C,D sao cho AD||BC.

a)Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,D, chúng cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AODI là tứ giác nội tiếp;

b)Gọi M là giao điểm của ACBD. Chứng minh rằng điểm M thuộc một đường tròn cố định khi C,D di chuyển trên cung lớn AB sao cho AD||BC;

c)Cho biết AB=R\sqrt{2}BC=R. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R.

Bài 5.

Giả sử phương trình x^2-mx-1=0 có hai nghiệm là x_1,x_2. Không giải phương trình hãy tính x_1-x_2.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2};

b)B=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{7})^2}.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-6x+m+1=0.

a)Tìm m để phương trình có nghiệm x=2;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=26.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 300m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.

Bài 4.

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) cố định không giao nhau. Từ điểm M thuộc (d) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn.

a)Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB thuộc (O;R);

b)Biết MA=R\sqrt{3}, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA,MB và cung nhỏ AB;

c)Chứng minh rằng khi M di động trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng số \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} là bình phương của một số nguyên.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 2.

a)Cho a,b là các số dương thoả mãn a-\sqrt{ab}-6b=0. Tính giá trị của biểu thức P=\dfrac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b};

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x^2-3y=2\\9y^2-8x=8.\end{cases}

Bài 3.

Cho các số thực a,b thoả mãn a+b\not =0. Chứng minh rằng

a^2+b^2+\left(\dfrac{1+ab}{a+b}\right)^2\geq 2.

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O)(O') cắt nhau tại AB. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O') tại D sao cho A nằm giữa CD. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O') tại D cắt nhau tại E.

a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp;

b)Chứng minh BE\cdot DC=CB\cdot ED+BD\cdot CE.

Bài 5.

Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy M, trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM=CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Turkey National Olympiad, Second Round – 2012


Ngày thứ nhất

Bài 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số nguyên sao cho P(n!)=|P(n)|!\,\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A với đường cao AD. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác ADC sao cho \widehat{APB}>90^{\circ}\widehat{PBD}+\widehat{PAD}=\widehat{PCB}. Giả sử CPAD cắt nhau tại Q, BPAD cắt nhau tại R. T là điểm trên đoạn ABS nằm trên tia đối của tia PA sao cho \widehat{TRB}=\widehat{DQC}\widehat{PSR}=2\widehat{PAR}. Chứng minh rằng RS=RT.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số không giảm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(f(x^2)+y+f(y))=x^2+2f(y)\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Continue reading “Turkey National Olympiad, Second Round – 2012”