Chọn đội tuyển Thổ Nhĩ Kì năm 2012


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho A=\{1,2,\ldots,2012\}, \: B=\{1,2,\ldots,19\}S là tập tất cả các tập con của A. Tìm số ánh xạ f : S\to B thỏa mãn f(A_1\cap A_2)=\min\{f(A_1),f(A_2)\} với mỗi A_1, A_2 \in S.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, cho D là một điểm trên cạnh BC. Gọi M_1, M_2, M_3, M_4, M_5 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, AB, AC, BD, CD,O_1, O_2, O_3, O_4 lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABD, ACD, M_1M_2M_4, M_1M_3M_5,. Nếu ST là trung điểm của các đoạn AO_1AO_2, tương ứng, chứng minh rằng SO_3O_4T là một hình thang cân.

Bài 3. Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca \leq 1, chứng minh rằng

\displaystyle a+b+c+\sqrt{3} \geq 8abc \left(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\right).

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F, tương ứng. Một đường tròn \omega qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại D, cắt các đoạn BFCE tại KL, tương ứng. Đường thẳng qua E và song song với DL cắt đường thẳng qua F và song song với DK tại P. Nếu R_1, R_2, R_3, R_4 là độ dài bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD, AED, FPD, EPD, tương ứng, chứng minh rằng R_1R_4=R_2R_3.

Bài 5. Một số nguyên dương n được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương a có thể viết dưới dạng \displaystyle a=n^2 \sum_{i=1}^n {x_i}^2, ở đây x_1, x_2, \ldots ,x_n là các số nguyên, thì a cũng viết được dưới dạng \displaystyle a=\sum_{i=1}^n {y_i}^2, ở đây y_1, y_2, \ldots, y_n là các số nguyên không chia hết cho n. Tìm tất cả các số tốt.

Bài 6. Hai người AB chơi một trò trên bảng 1\times m , sử dụng 2012 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 2012. Tại mỗi bước, A chọn một tấm thẻ và B đặt nó vào một trong các ô còn trống của bảng. Sau k bước, nếu tất cả các mảnh được đặt trên bảng tăng, thì B thắng, nếu không thì A thắng. Với giá trị nào của (m,k) thì B có thể thắng?

Ngày thứ ba

Bài 7. Cho S_r(n)=1^r+2^r+\cdots+n^r, ở đây n là một số nguyên dương và r là một số hữu tỷ. Nếu S_a(n)=(S_b(n))^c với mỗi số nguyên dương n, ở đây a, b là các số hữu tỷ dương và c là một số nguyên dương thì ta gọi (a,b,c)bộ ba đẹp. Tìm tất cả các bộ ba đẹp.

Bài 8. Trong mặt phẳng cho sáu điểm A, B, C, A', B', C' sao cho các tam giác ABCA'B'C' bằng nhau. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABCA_1 là một giao điểm của đường tròn đường kính AA' và đường tròn tâm A' qua G. Xác định B_1C_1 tương tự. Chứng minh rằng AA_1^2+BB_1^2+CC_1^2 \leq AB^2+BC^2+CA^2.

Bài 9. Cho \mathbb{P} là tập tất cả các số nguyên tố. Một tập A được gọi là S-\text{proper}, ở đây A, S \subset \mathbb{Z^+}, nếu có số nguyên dương N sao cho với mỗi a \in A và với mỗi 0 \leq b <a, tồn tại s_1, s_2, \ldots, s_n \in S thỏa mãn b \equiv s_1+s_2+\cdots+s_n \pmod a1 \leq n \leq N. Tìm một tập con S của \mathbb{Z^+} sao cho \mathbb{P}S-\text{proper} nhưng \mathbb{Z^+} thì không.

1 thought on “Chọn đội tuyển Thổ Nhĩ Kì năm 2012”

  1. Bài bất khá là yếu, để em chém😉
    a^2 + 1 >= a^2 + ab + bc +ca = (a+b)(a+c)
    Do đó chỉ cần chứng minh
    a + b + c + căn(3) >= 16abc(a+b+c) / (a+b)(b+c)(c+a)
    Từ bất đẳng thức quen thuộc 9(a+b)(b+c)(c+a) >= 8(ab+bc+ca)(a+b+c), bất đẳng thức còn lại chỉ còn phải chứng minh bằng AM-GM, không có gì khó khăn

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s