25/12/2012


Bài 95. Ở một quốc gia có 100 sân bay sao cho khoảng cách giữa chúng đôi một khác nhau. Một ngày nọ, mỗi sân bay có một máy bay cất cánh và bay đến sân bay gần nó nhất. Chứng minh rằng không có sân bay mà ở đó có nhiều hơn 5 máy bay bay đến.

Bài 96. Trong mặt phẳng cho một họ các đĩa có phần trong đôi một rời nhau. Mỗi đĩa trong họ tiếp xúc với ít nhất 6 đĩa trong họ. Chứng minh rằng họ là vô hạn.

Bài 97. Cho 1=x_1<x_2<x_3<\ldots là một dãy các số nguyên thỏa mãn x_{n+1}\leq 2n\,\,\,\forall n=1,2,\ldots. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k, có các chỉ số ij sao cho k=x_i-x_j.

Bài 98. Tính tổng \displaystyle\sum\dfrac{1}{\prod_{s\in S}s}. (ở đây tổng lấy trên tất cả các tập con khác rỗng S của \{1,2,\ldots,n\}.)

Bài 99. Bên trong một tam giác đều cạnh 15 điểm. Chứng minh rằng hai trong chúng cách nhau một khoảng bé hơn 1/2.

Bài 100. Bên trong hình vuông đơn vị có 51 điểm. Chứng minh rằng 3 trong chúng có thể được phủ bởi một đĩa bán kính 1/7.

Bài 101. Cho S là một tập gồm 1980 điểm trong mặt phẳng sao cho hai điểm bất kì của S cách nhau ít nhất 1. Chứng minh rằng S chứa một tập con T sao cho |T|=220 và khoảng cách giữa hai điểm bất kì của T lớn hơn hay bằng \sqrt{3}.

Bài 102. Một hội quốc tế có hội viên thuộc 6 nước khác nhau. Danh sách các hội viên gồm 1978 người được đánh số theo thứ tự 1,2,\ldots,1978. Chứng minh rằng có ít nhất một hội viên mà số thứ tự bằng tổng các số thứ tự của hai hội viên thuộc cùng một nước với hội viên đó, hoặc bằng hai lần số thứ tự của một hội viên thuộc cùng một nước với hội viên đó.

Bài 103. Xét số nguyên n>1. Người ta muốn tô tất cả các số tự nhiên bởi hai màu xanh, đỏ sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn

a) Mỗi số được tô bởi một màu, và mỗi màu đều được dùng để tô vô hạn số;

b) Tổng của n số đôi một khác nhau cùng màu là số có cùng màu đó.

Hỏi có thể thực hiện được phép tô màu nói trên hay không, nếu

1/. n=2002?

2/. n=2003?

Bài 104. Tìm tất cả các số tự nhiên n>3 sao cho tồn tại n điểm trong không gian thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

a) Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng;

b) Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn;

c) Tất cả các đường tròn đi qua ba điểm trong chúng đều có bán kính bằng nhau.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s