22/12/2012


Bài 83. Cho n>2 điểm trong mặt phẳng sao cho mỗi 3 trong chúng có thể phủ bởi một đĩa đơn vị. Chứng minh rằng tất cả chúng có thể phủ bởi một đĩa đơn vị.

Bài 84. Chứng minh rằng trong mỗi 7-giác lồi có một điểm không nằm trong bất kì tứ giác nào có bốn đỉnh là các đỉnh liên tiếp của đa giác.

Bài 85. Trong mặt phẳng cho một số hữu hạn các đoạn thẳng đôi một song song. Chứng minh rằng nếu mỗi 3 trong chúng có một đường thẳng cắt cả 3 thì có một đường thẳng cắt tất cả các đoạn thẳng này.

Bài 86. Cho x_1,\ldots ,x_n là các số thực dương. Chứng minh rằng có các số a_1,\ldots ,a_n\in\{-1,1\} thỏa mãn

a_1x_1^2+a_2x_2^2+\ldots +a_nx_n^2\ge (a_1x_1+a_2x_2+\ldots + a_n x_n)^2.

Bài 87. Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu. Chứng minh rằng phải có ba điểm cùng màu không thẳng hàng sao cho tam giác tạo bởi chúng có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 và một góc của nó gấp đôi góc khác của nó hoặc một góc của nó gấp ba góc khác của nó.

Bài 88. Tìm số nguyên dương n lớn nhất để có n điểm phân biệt A_i trong mặt phẳng và n số thực dương r_i thoả mãn A_iA_j=r_i+r_j với mỗi i\not=j.

Bài 89. Xác định tất cả các số nguyên dương n>3 sao cho có n điểm A_i trong mặt phẳng thoả mãn đồng thời hai tính chất sau

i) Không có ba điểm nào thẳng hàng, và

ii) Có n số thực r_i sao cho diện tích của tam giác A_iA_jA_k bằng r_i+r_j+r_k với mỗi 1\leq i<j<k\leq n.

Bài 90. Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A_1,A_2,\cdots, A_n, và n số thực khác không \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n sao cho A_iA_j^2=\lambda_i+\lambda_j\,\,\,\forall i\not =j. Chứng minh rằng n\leq 4 và nếu n=4 thì

\dfrac{1}{\lambda_1}+\dfrac{1}{\lambda_2}+\dfrac{1}{\lambda_3}+\dfrac{1}{\lambda_4}=0.

Bài 91. Tìm tất cả các tập hữu hạn S gồm ít nhất 3 điểm trên mặt phẳng sao cho với mỗi hai điểm A,B khác nhau trong S, đường trung trực của AB là một trục đối xứng của S.

Bài 92. Trong mặt phẳng có 2n điểm (n\in\mathbb{N}^*) phân biệt. Chứng minh rằng có một đường thẳng chia mặt phẳng làm hai phần sao cho mỗi phần chứa n điểm.

Bài 93. Trong mặt phẳng có 2n+2 điểm (n\in\mathbb{N}^*), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có một đường thẳng đi qua hai trong số các điểm đó và chia mặt phẳng làm hai phần sao cho mỗi phần chứa n điểm.

Bài 94. Trong mặt phẳng có 2n điểm (n\in\mathbb{N}^*,n>1), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta tô n điểm màu xanh, n điểm còn lại màu đỏ. Một đường thẳng được gọi là cân bằng nếu nó đi qua một điểm xanh và một điểm đỏ, đồng thời ở mỗi nửa mặt phẳng xác định bởi nó, số điểm đỏ bằng số điểm xanh. Chứng minh rằng có ít nhất hai đường thẳng cân bằng.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s