Turkey National Olympiad, Second Round – 2012


Ngày thứ nhất

Bài 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số nguyên sao cho P(n!)=|P(n)|!\,\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A với đường cao AD. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác ADC sao cho \widehat{APB}>90^{\circ}\widehat{PBD}+\widehat{PAD}=\widehat{PCB}. Giả sử CPAD cắt nhau tại Q, BPAD cắt nhau tại R. T là điểm trên đoạn ABS nằm trên tia đối của tia PA sao cho \widehat{TRB}=\widehat{DQC}\widehat{PSR}=2\widehat{PAR}. Chứng minh rằng RS=RT.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số không giảm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(f(x^2)+y+f(y))=x^2+2f(y)\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

 

Ngày thứ hai

Bài 4. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương x,yz ta có

\dfrac{x(2x-y)}{y(2z+x)}+\dfrac{y(2y-z)}{z(2x+y)}+\dfrac{z(2z-x)}{x(2y+z)} \geq 1.

Bài 5. Cho P là tập tất cả các bộ 2012 số thực (x_1, x_2, \dots, x_{2012}) sao cho với mỗi 1\leq i \leq 2012, x_i \in \{1,2,\dots 20\}. Với mỗi (x_1,x_2,\dots ,x_{2012} ) \in S(y_1,y_2,\dots, y_{2012}) \in P,

nếu tập con S \subset P thỏa mãn

y_i \leq x_i\,\, (1\leq i \leq 2012) \Rightarrow (y_1,y_2,\dots, y_{2012}) \in S, ta gọi S là một tập giảm,

nếu S thỏa mãn

x_i \leq y_i\,\, (1\leq i \leq 2012) \Rightarrow (y_1,y_2,\dots, y_{2012}) \in S, ta gọi S là một tập tăng.

Cho A là một tập giảm khác rỗng, và B là một tập tăng khác rỗng. Tìm giá trị lớn nhất của |A\cap B|/(|A|.|B|).

Bài 6. Cho B,D là các điểm trên các đoạn AE,AF tương ứng. Các đường tròn bàng tiếp đỉnh A của các tam giác ABF,ADE là một, gọi tâm của nó là I. BFDE cắt nhau tại C. Gọi P_1,P_2,P_3,P_4,Q_1,Q_2,Q_3,Q_4 là các tâm của các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA, IAE, IEC, ICF, IFA tương ứng.

a) Chứng minh rằng các điểm P_1, P_2, P_3, P_4 nằm trên một đường tròn và các điểm Q_1, Q_2, Q_3, Q_4 cũng thế.

b) Kí hiệu tâm của các đường tròn này là O_1O_2. Chứng minh rằng O_1, O_2I thẳng hàng.

3 thoughts on “Turkey National Olympiad, Second Round – 2012”

  1. Giả sử P là một đa thức thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Xét hai trường hợp sau
    1/. P là đa thức hằng
    Dễ kiểm tra rằng P\equiv 1 hoặc 2.
    2/. P không phải là đa thức hằng
    Khi đó nếu gọi k là bậc của đa thức thì k=1. Thật vậy, xét k>1.
    Hệ số đầu của nó phải là số nguyên dương. Suy ra với n đủ lớn ta có n^k\leq P(n)<n^{k+1}. Kết hợp với đầu bài ta được với n đủ lớn thì (n^k)!\leq (n!)^{k+1}. Điều này là không thể!
    —–
    Có bác nào giải được bài 3 không?

  2. Giả sử f là một hàm số thỏa mãn các yêu cầu của bài toán. Đặt f(0)=a và xét hai trường hợp
    1/. Nếu a\geq 0.
    Lần lượt cho x=0,y=0x=y=0 vào đồng nhất thức trong đầu bài ta được
    f(a+y+f(y))=2f(y)\,\,(1)\,\,\forall y\in\mathbb{R}.
    f(a+f(x))=x+2a\,\, (2)\,\,\forall x\geq 0.
    f(2a)=2a.
    Trong (1) cho y=2a ta có f(5a)=4a.
    Trong (2) cho x=2a\geq 0 rồi x=3a\geq 0 ta được f(3a)=4a,f(5a)=5a. Suy ra 4a=5a, hay a=0. Như vậy f(0)=0.
    2/. Nếu a<0.
    Trong đồng nhất thức ban đầu cho x=\sqrt{-2a},y=0 ta thấy tồn tại b\in\mathbb{R} sao cho f(b)=0.
    Cũng trong đồng nhất thức ban đầu, cho x=0,y=b ta được f(a+b)=0.
    Bằng quy nạp theo n ta được f(b+na)=0\,\,\forall n\geq 0.a<0f không giảm nên từ đây ta có tồn tại số thực M<0 để f(x)=0\,\,\forall x<M.
    Với mỗi x\in\mathbb R, cố định nó và chọn y<M sao cho f(x^2)+y<M. Từ đồng nhất thức ban đầu ta có
    0=f(f(x^2)+y)=f(f(x^2)+y+f(y))=x^2+2f(y)=x^2,
    suy ra x^2=0\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Điều này không thể xảy ra.
    Như vậy qua viêc xét hai trường hợp trên ta được f(0)=0.
    Trong đồng nhất thức ban đầu ta cho y=0 thì được f(f(x))=x\,\,\forall x\geq 0, cho x=0 ta được
    f(x+f(x))=2f(x)\,\,(3)\,\forall x\in\mathbb{R}.
    Trong (3), với mỗi x\geq 0, thay x bởi f(x) ta được f(x)=x\,\forall x\geq 0.
    Đến đây bài toán đơn giản rồi.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s