[ZetaMu] Tô pô là gì?


Bài của anh Dũng.😀

—–

Đi nghỉ hè về ít lâu rồi, nay lại viết một chút cho vui. Sắp tới tôi sẽ dạy con tôi về tô pô (topology). Câu hỏi đầu tiên là tô pô là gì, để làm gì ?

Tôi nhớ, hồi học đại học, tôi theo học chuyên ngành tô pô – hình học, nhưng cũng chưa bao giờ được thầy nào đề cập đến câu hỏi “tô pô là gì”. Cứ học một đống khái niệm về tô pô, và nghiễm nhiên chấp nhận rằng tô pô là môn học về những khái niệm trừu tượng đó (đóng, mở, compact, liên thông, đồng luân, đồng điều, v.v.). Cũng là kiểu “học gạo” thôi, nhồi đi nhồi lại vào đầu lâu ngày thành quen. Nhưng có lẽ phải mất rất lâu sau mới tự hiểu ra tô pô là gì, và giá như khi còn đi học được thày giải thích ngọn nguồn cho biết tô pô là gì và vì sao lại cần học tô pô, thì có lẽ tốt hơn.

Đối với phần lớn mọi người, thì từ “tô pô” là một từ khá xa lạ. Tôi còn nhớ, có lần có một cậu bạn trẻ hơn tôi một ít hỏi tôi học gì, tôi bảo học tô pô, cậu này liền nói là “anh bịa, làm gì có môn gì gọi là tô pô”. Trong quan điểm của “người thường”, toán học chỉ gồm có số học, rồi đến đại số, hình học, giải tích, còn “tô pô” là “bịa” rồi. Ngay các sinh viên hay nghiên cứu sinh ngành toán ở VN, nếu không theo học chuyên ngành hình học thì chắc cũng ít ai biết về tô pô.

Vậy thì tô pô là gì ?

Nói một cách đơn giản, tô pô (topology) chẳng qua là giải tích định tính (qualitative analysis). Cụm từ qualitative analysis chắc dễ hình dung hơn nhiều so với từ topology, bởi vì phần lớn mọi người (nếu đã qua đại học) có biết ít nhiều về giải tích là gì.

Thế nào là định tính ? Chẳng hạn khi ta nói “cái ô tô màu xanh lá cây”, thì “xanh lá cây” ở đây là định tính. Nếu nói đó là màu #008B45 theo bảng màu RGB (red-green-blue) thì đấy cũng là một màu xanh lá cây nhưng đã được định lượng chính xác hơn so với chỉ là “xanh lá cây”. Định tính là để nói về các tính chất chung, đối ngược với định lượng là để nói về các con số cụ thể chi tiết. Khi nói cái quả táo này to, thì đấy là định tính, còn khi nói nó nặng 425gr, thì đó là định lượng. Khi nói “phương trình này có nghiệm” thì đó là định tính, còn viết cụ thể ra nghiệm thì thành định lượng. Khi nói “đây là một đa tạp compact 3 chiều” thì các từ “đa tạp”, “compact”, “3 chiều” là các khái niệm tô pô, vì chúng là định tính, còn khi viết cụ thể ra phương trình của cái đa tạp đó trong không gian R4 chẳng hạn, thì đã thành hình học có tính định lượng hơn.

Từ topology có gốc Hy Lạp. Topo có nghĩa là “chỗ, vùng, miền, …” còn “logy” có nghĩa là “nghiên cứu, tìm hiểu, …”. Từ này được nhà toán học Hausdorff đưa ra vào năm 1914. Còn trước đó, tô pô được biết đến dưới tên gọi “analysis situs” (từ “situs” cũng có nghĩa là “chỗ, vùng, …”, nhưng là gốc Latin). Vào thập kỷ cuối của thế kỷ 19, Henri Poincaré có viết một loạt bài báo nhan đề “Analysis Situs”, trong đó ông đưa ra các khái niệm nền tảng cho tô pô, như đồng luân (homotopy), đồng điều (homology), đối ngẫu Poincaré, v.v. Vì có các công cụ đại số được đưa vào để nghiên cứu tô pô bắt đầu từ thời Poincaré, nên có một chuyên ngành toán hiện đại gọi là tô pô đại số. Cụm từ “analysis situs” được Leibniz dùng từ thời thế kỷ 17 để chỉ “hình học của các tình huống” (geometry of situations), với ý tưởng là đưa ra một ngôn ngữ hình học trừu tượng chung để có thể dùng để mô tả [một cách định tính ?] nhiều tình huống khác nhau. Dần dần cụm từ đó trở thành có nghĩa là tô pô, và ngày nay thì tô pô và hình học thường được coi là đi đôi với nhau. Có một tạp chí toán quốc tế nổi tiếng mang tên “Geometry and Topology”.

Các bài toán tồn tại hay không tồn tại những thứ gì đó trong toán học (ví dụ như tồn tại nghiệm của phương trình, điểm cực đại của hàm số, điểm bất động của ánh xạ, đồng phôi giữa hai đa tạp, v.v.) nhiều khi có thể coi là những bài toán có tính tô pô, và do vậy có thể sử dụng các công cụ của tô pô để hỗ trợ trong việc giải chúng. Một trong những bài toán rất cố điển dạng như vậy, mà có thể dùng làm bài toán đố cho trẻ em, là bài “3 cái nhà 3 cái giếng”: có 3 cái nhà và 3 cái giếng trên một mảnh đất, hỏi có thể hay không xây đường từ các nhà đến các giếng sao cho không có đường nào cắt (hay bắc cầu qua) đường nào. Bài toán “7 cái cầu ở Konigsberg” của Euler cũng thường được trích dẫn như là tiền sử của tô pô.

Việc hiểu biết các khái niệm về tô pô giúp chúng ta nhìn nhận nhiều vấn đề khác (có tính chất định tính) trong toán học một cách sáng sủa hơn. Một ví dụ là định lý arbitrage (kinh doanh chênh lệch giá) của toán tài chính (gần như tương đương với định lý đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính), có thể dùng các tính chất của tập compact (là một khái niệm tô pô, và tính chất là hàm liên tục trên tập compact thì luôn có điểm cực đại) để chứng minh định lý này. (Tôi có viết cách chứng minh này trong sách toán tài chính với GS Đỗ Đức Thái). Ngày nay, các vấn đề của giải tích và hình học hiện đại hầu như luôn đụng đến các khái niệm tô pô.

Một số khái niệm cơ bản nhất của tô pô.

Một đặc điểm thường có của các tính chất định tính là khi ta thay đổi cái gì đó đi một chút ít thì tính chất của nó vẫn còn vậy. Chẳng hạn, một anh thuộc diện “nhà giàu”, nếu một hôm chẳng may mất đi 1 nghìn USD, thì anh ta vẫn còn là nhà giàu chứ không thành nhà nghèo ngay được. Trong tô pô, hiện tượng này được thể hiện bằng khái niệm lân cận (neighborhood), là một trong những khái niệm cơ bản nhất của tô pô. Nói một cách trực giác, một cái gì đó (trong ngôn ngữ hình học thì gọi là một điểm A) được gọi là nằm trong một lân cận của một điểm B nếu A “đủ gần” B sao cho A có cùng tính chất nào đó tương tự như B. Tất nhiên, mỗi điểm có thể có nhiều lân cận khác nhau, tùy theo coi thế nào là “gần”. Ví dụ, cả nước Pháp là một lân cận của tôi, vì ai ở nước Pháp cũng cùng chung tính chất “ở Pháp” với tôi. Toulouse là một lân cận khác của tôi (năm trong lân cận “Pháp”), cái dãy phố của tôi lại là lân cận nhỏ hơn nữa, còn “các nhà của người Việt ở Toulouse” sẽ là một lân cận khác nữa, v.v.

Tất nhiên, toán học cần ngôn ngữ chặt chẽ chính xác. Bởi vậy các lân cận phải thỏa mãn một hệ tiên đề nào đó của tô pô. Một tập hợp mà trong đó các lân cận của các phần tử thỏa mãn hệ tiên đề đó, thì được gọi là không gian tô pô.

Song song với khái niệm lân cận là khái niệm tập mở và tập đóng. Tiếp đến là các khái niệm: ánh xạ liên tục, tô pô cảm sinh, tô pô yếu hơn, tô pô mạnh hơn, đồng phôi, liên thông, liên thông đường, tính tách được, tính compact, tô pô của không gian metric, tương đương tô pô của các metric, metric hóa được, v.v. (Tôi sẽ không giải thích các khái niệm này ở đây — có thể tìm đọc chúng trong nhiều sách khác nhau — điều quan trọng cần nhớ là các khái niệm này đều rất tự nhiên và có ý nghĩa sâu sắc). Tôi có dạy tô pô (còn gọi là tô pô đại cương, là môn chung cho toàn bộ các SV ngành toán, và chủ yếu nhằm ứng dụng vào giải tích) cho sinh viên toán năm thứ 3 trong một số năm, và những SV nào nắm được cái khái niệm mà tôi vừa liệt kê ra thì coi như học được thành công cái môn tô pô này.

1 thought on “[ZetaMu] Tô pô là gì?”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s