11/12/2012


Bài 37. Cho đa thức bậc ba f(x)=x^3+ax^2+bx+c.

a/. Tìm số thực \lambda lớn nhất sao cho f(x)\geq\lambda (x-a)^3\,\,\forall x\geq 0 mỗi khi f có ba nghiệm không âm.

b/. Xác định tất cả x để có dấu đẳng thức khi \lambda là giá trị lớn nhất đó.

Bài 38. Có bao nhiêu số thực a sao cho phương trình x^3=ax+a+1 có nghiệm nguyên chẵn x_0 thỏa mãn |x_0|<1000.

Bài 39. Cho các số thực a,b,c\lambda>0 thỏa mãn đa thức f(x)=x^3+ax^2+bx+c có ba nghiệm thực x_1,x_2,x_3 sao cho

1/. x_2-x_1=\lambda;

2/. x_3>\dfrac{x_1+x_2}{2}.

Tìm giá trị lớn nhất của \dfrac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}.

Bài 40. Với mỗi đa thức P, kí hiệu A_P là tập các nghiệm thực của P. Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của A_P khi P thuộc tập các đa thức với hệ số thực, khác hằng và thỏa mãn P(x^2-1)=P(x)P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 41. Cho số thực a>2. Đặt f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+\cdots+x+1\,\, (n=1,2,...). Chứng minh rằng với mỗi n, phương trình f_n(x)=a có đúng một nghiệm x_n>0. Chứng minh rằng dãy (x_n) có giới hạn hữu hạn khi n\to +\infty.

Bài 42. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m, ta có \displaystyle\sum_{i=1}^m\cot^2\left(\frac{i\pi}{2m+1}\right)=\frac{m(2m-1)}{3}. Từ đó suy ra \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{i^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Bài 43. Cho số thực a, khác 01. A và B cùng chơi một trò như sau. A chơi trước sau đó đến B, và cứ thế. Ở mỗi bước, người chơi sẽ thay dấu * trong phương trình *x^4+*x^3+*x^2+*x^1+*=0 bởi một số có dạng a^n với n là một số nguyên dương. A thắng nếu phương trình hình thành không có nghiệm thực. B thắng trong trường hợp còn lại. Tùy theo a, xác định xem ai là người có thể thắng trong trò chơi này.

Bài 44.  P là một đa thức bậc 2012 với hệ số thực thỏa mãn P(a)^3 + P(b)^3 + P(c)^3 \geq 3P(a)P(b)P(c), với mỗi ba số thực a,b,c sao cho a+b+c=0. Liệu P có thể có đúng 2012 nghiệm thực phân biệt?

Bài 45. Cho uv là các số thực thỏa mãn

(u + u^2 + u^3 + \cdots + u^8) + 10u^9 = (v + v^2 + v^3 + \cdots + v^{10}) + 10v^{11} = 8. So sánh uv.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s