27/11/2012


Bài 23. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố và n là một số nguyên dương thì số mũ của p trong phân tích của n! bằng

\displaystyle \left[\frac{n}{p}\right]+\left[\frac{n}{p^2}\right]+\left[\frac{n}{p^3}\right]+\cdots

Bài 24. Cho a,b là các số nguyên và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng số \displaystyle\dfrac{b^{n-1}a(a+b)(a+2b)\cdots (a+(n-1)b)}{n!}

là một số nguyên.

Bài 25. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho

a) \dfrac{x-1}{x+2}\in\mathbb{Z};

b) \dfrac{3x^2+1}{2x+1}\in\mathbb{Z}.

Bài 26. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho nó có thể viết được một cách duy nhất dưới dạng n=\dfrac{x^2+y}{xy+1}\,\,\,\,\, (x,y\in\mathbb{N}^*).

Bài 27. Tìm tất cả các cặp (m,n) các số nguyên dương sao cho \dfrac{n^3+1}{mn-1}\in\mathbb{Z}.

Bài 28. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}\in\mathbb{N}^*.

Bài 29. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho ab^2+b+7|a^2b+a+b.

Bài 30. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho \dfrac{a^2+b}{b^2-a}\dfrac{b^2+a}{a^2-b} là các số nguyên.

Bài 31. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương m sao cho phương trình

\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{m}{a+b+c}

có vô hạn nghiệm nguyên dương.

Bài 32. Chứng minh rằng nếu a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn d=(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4})^2 thì d là bình phương của một số nguyên.

Bài 33. Tìm tất cả các bộ ba (x,y,z) các số nguyên dương sao cho (x+y)(1+xy)=2^z.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s