25/11/2012


Bài 14. Các dãy (x_n),(y_n) xác định bởi x_1=2,y_1=1

x_{n+1}=x_n^2+1,y_{n+1}=x_ny_n\,\,\,\,\,\,\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng dãy số (x_n/y_n)_{n\geq 1} hội tụ và giới hạn của nó bé hơn \sqrt{7}.

Bài 15. Cho trước các số thực dương uv.

a) Chứng minh rằng phương trình 2x^3+(u+v+1)x^2-uv=0 có đúng một nghiệm dương, và hơn nữa, nghiệm này nằm trong khoảng (0;\sqrt{uv}).

b) Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2+uy^2+vz^2 bằng 2t, ở đây t là nghiệm dương của phương trình trong phần a).

Bài 16. Tìm tất cả các số thực a,b sao cho \lim_{n\to +\infty} (\sqrt[3]{1-n^3}-an-b)=0.

Bài 17. Cho (a_n) là dãy thỏa mãn a_{n+1}=a_n^2+(a_n-1)^2\,\,\forall n\geq 0. Tìm a_0\in\mathbb{Q} để có bốn chỉ số phân biệt p,q,r,s sao cho a_p-a_q=a_r-a_s.

Bài 18. Cho trước số nguyên a. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z}\cap [a;+\infty)\to\mathbb{R} sao cho f(x+y)=f(x)f(y) với mỗi số hai nguyên x,y thỏa mãn x\geq a,y\geq ax+y\geq a.

Bài 19. Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=6a^2+b^2+c^2+d^2=12.

Chứng minh rằng

36 \leq 4 \left(a^3+b^3+c^3+d^3\right) - \left(a^4+b^4+c^4+d^4 \right) \leq 48.

Bài 20. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho f(4)=4

\dfrac{1}{f(1)f(2)f(3)}+\dfrac{1}{f(2)f(3)f(4)}+\cdots+\dfrac{1}{f(n)f(n+1)f(n+2)}=\dfrac{(n+3)f(n)}{4f(n+1)f(n+2)}\,\,\forall n\geq 2.

Bài 21. Với x\geq 1 ta định nghĩa f(x)=\dfrac{\sqrt{[x]}+\sqrt{\{x\}}}{\sqrt{x}}.

Tìm số thực bé nhất z sao cho f(x)\leq z\,\,\forall x\geq 1. Cho trước số thực x_0\geq 1 và định nghĩa x_n=f(x_{n-1})\forall n\geq 1. Chứng minh dãy (x_n) là dãy hội tụ.

Bài 22. Cho n là một số nguyên dương và

f(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb{R}[x].

Chứng minh rằng tồn tại i\in\{1,2,\cdots,n\} sao cho |f(i)|\geq\dfrac{n!}{C_n^i}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s