24/11/2012


Bài 1. Chứng minh rằng nếu c là một số hữu tỷ thì phương trình
x^3-3cx^2-3x+c=0 có nhiều nhất một nghiệm hữu tỷ.

Bài 2. Chứng minh rằng 2\cos\frac{\pi}{7} là một nghiệm của phương trình
x^3+x^2-2x-1=0. Suy ra rằng 2\cos\frac{\pi}{7} là một số vô tỷ.

Bài 3. Cho P là một đa thức với hệ số thực thỏa mãn P(x^2)=P(x)P(x-1)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

a/. Chứng minh rằng nếu x_0\in\mathbb{C} là một nghiệm của P\deg P>0 thì x_0=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.

b/. Tìm tất cả P thỏa mãn điều kiện trên.

Bài 4. Các số phức x,y,z thỏa mãn các điều kiện
x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=2,x^3+y^3+z^3=3. Tính x^4+y^4+z^4.

Bài 5. Đặt G_n=a^n\sin nA+b^n\sin nB+c^n\sin nC, ở đây a,b,c,A,B,C là các số thực sao cho A+B+C là một bội nguyên của \pi. Chứng minh rằng nếu G_1=G_2=0 thì G_n=0\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 6. (1977 USAMO) Chứng minh rằng nếu a,b là các nghiệm của phương trình x^4+x^3-1=0 thì $ab$ là một nghiệm của phương trình
x^6+x^4+x^3-x^2-1=0.

Bài 7. (1984 USAMO) Tích của hai trong bốn nghiệm của x^4-18x^3+kx^2+200x-1984=0-32. Tìm k.

Bài 8. (1983 Austrian Olympiad) Cho x_1,x_2,x_3 là các nghiệm của x^3-6x^2+ax+a=0. Xác định các số thực a sao cho (x_1-1)^3+(x_2-2)^3+(x_3-3)^3=0. Với mỗi a như thế, hãy giải phương trình tương ứng.

Bài 9. (1975 USAMO) P là một đa thức bậc n thỏa mãn P(k)=\dfrac{k}{k+1}\,\,\forall k=0,1,\cdots,n. Tính P(n+1).

Bài 10. Cho u,v,uv là các nghiệm của đa thức
P(x)=x^3+ax^2+bx+c\in\mathbb{Q}[x]. Chứng minh rằng nếu uv là một số vô tỷ thì a=1.

Bài 11. Xét các số thực a,b sao cho đa thức ax^3-x^2+bx-1 có ba nghiệm dương (không cần phải khác nhau). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{5a^2-3ab+2}{a^2(b-a)}.

Bài 12. Các số thực a,b,c thỏa mãn đa thức P(x)=x^3+ax^2+bx+c có ba nghiệm thực (không cần phải khác nhau). Chứng minh rằng

12ab+27c\leq 6a^3+10\sqrt{(a^2-2b)^3}.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 13. Tìm tất cả P\in\mathbb{R}[x] sao cho (x^3+3x^2+3x+2)P(x-1)\equiv (x^3-3x^2+3x-2)P(x).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s