Quan hệ vuông góc


Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O;SA vuông góc với (ABCD). Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC,SD.

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với (SAD), BD vuông góc với (SAC).

b) Chứng minh rằng AH,AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra AH,AI,AK cùng nằm trong một mặt phẳng.

c) Chứng minh rằng HK vuông góc với (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI.

Bài 2. Tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại BSA vuông góc với mặt phẳng (ABC).

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với (SAB).

b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh rằng AH vuông góc với SC.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết rằng SA=SC,SB=SD.

a) Chứng minh rằng SO vuông góc với đáy hình chóp

b) Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA,BC. Chứng minh rằng IJ vuông góc với (SBD).

Bài 4. Tứ diện ABCDABC,DBC là các tam giác đều, gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC\bot (AID);

b) Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH\bot (BCD).

Bài 5. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I,J là trung điểm của AB,CD.

a) Tính các cạnh của \Delta SIJ và chứng minh SI\bot (SCD), SJ\bot (SAB).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH\bot AC.

c) Gọi M là một điểm thuộc CD sao cho BM\bot SA. Tính AM theo a.

Đáp số: a,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.

Bài 6. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC=a\sqrt{2}. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD.

a) Chứng minh rằng SH\bot (ABCD).

b) Chứng minh rằng AC\bot SK,CK\bot SD.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,BC=a\sqrt{3}, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên (SCD) vuông tại DSD=a\sqrt{5}.

a) Chứng minh rằng SA\bot (ABCD) và tính SA.

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với (HIJ). Chứng minh rằng AK\bot (SBC),AL\bot (SCD).

c) Tính diện tích của AKHL.

Đáp số: a\sqrt{2},\dfrac{8a^2}{15}.

Bài 8. Cho \Delta ABC đều cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại D ta lấy S sao cho SD=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}. Chứng minh rằng (SAB)\bot (SAC).

Bài 9. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC,ABD cùng vuông góc với đáy (BDC). Vẽ các đường cao BE,DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD.

a) Chứng minh AB\bot (BCD).

b) Chứng minh (ABE)\bot (ADC),(DFK)\bot (ADC).

c) Gọi O,H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD,ACD. Chứng minh OH\bot (ADC).

Bài 10. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh aSA\bot (ABCD). Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên đoạn BC,DC sao cho BM=\dfrac{a}{2},DN=\dfrac{3a}{4}. Chứng minh rằng (SAM)\bot (SMN).

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB',CC' cùng vuông góc với (ABC) và hai điểm B',C' nằm về cùng một bên đối với (ABC).

a) Chứng minh (ABB')\bot (ACC').

b) Gọi AH,AK là các đường cao của các tam giác ABC,AB'C'. Chứng minh rằng (BCC'B')\bot (AHK),(AB'C')\bot (AHK).

 

Bài 12. Gọi I là một điểm bất kì nằm trong đường tròn (O), tâm O, bán kính R. Gọi CD là môt dây cung đi qua I của (O). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy S sao cho OS=R. Gọi E là điểm đối tâm của D. Chứng minh rằng

a) \Delta SDE vuông.

b) SD\bot CE.

c) \Delta SCD vuông.

Bài 13. \Delta MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (\alpha). Trên đường thẳng vuông góc với (\alpha) tại A lấy C,D ở hai bên của A. Gọi C' là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AMCC'.

a) Chứng minh CC'\bot (MBD).

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của \Delta BCD.

Bài 14. Trong (P) cho tam giác ABC với cả ba góc nhọn. Trên (d)\bot (P) tại A, lấy M. Dựng BK\bot AC,BH\bot CM. Gọi N là giao của KH(d).

a) Chứng minh BN\bot CM,BM\bot CN.

b) Tìm vị trí của M để MN nhỏ nhất.

3 thoughts on “Quan hệ vuông góc”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s