Bài 1. (China TST 2012) Cho số nguyên . Tìm tất cả các hàm số
sao cho
Lời giải. Giả sử là một hàm số thỏa mãn các yêu cầu của bài toán. Xét các trường hợp sau
1/. Nếu là số nguyên dương
Đặt . Từ giả thiết, cho
,
và
ta được
Suy ra
, hay
.
Xét tập hợp . Dễ thấy
và
là một nhóm con của nhóm
. Suy ra
hoặc có số nguyên dương
sao cho
. Không thể xảy ra trường hợp đầu vì hàm số
không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Bây giờ ta quan tâm đến trường hợp sau.
Từ ta có
Do đó nhưng từ giả thiết ta lại có
, suy ra
, với
là một số nguyên nào đó. Thay trở lại đồng nhất thức ban đầu ta được
.
2/. Nếu là số nguyên âm
Lập luận như trường hợp trên ta được , với
là một số nguyên. Điều này không bao giờ xảy ra, và do đó không có hàm số nào thỏa mãn yêu cầu của bài toán trong trường hợp này.
3/. Nếu
Ta có .
Xét tập hợp , dễ thấy
là một nhóm con của
và
.
Nếu thì
. Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn.
Nếu với
là số nguyên dương nào đó thì
, ở đây
là một hàm thỏa mãn
(hàm này hoàn toàn được xác định bởi ảnh của nó tại
)
Thử lại ta thấy hàm xác định như trên thỏa mãn các yêu cầu của bài toán.
Kết luận:
Nếu và phương trình
có nghiệm nguyên thì hàm số phải tìm là
với
là một nghiệm của phương trình đó.
Nếu thì không có hàm số nào thỏa mãn.
Nếu thì
hoặc
, ở đây
là một số nguyên dương và
là một hàm thỏa mãn
Bài 2. (BMO 2010) Gọi là tập tất cả các số nguyên dương và
là một hàm thoả mãn
và
với mỗi
. Chứng minh rằng
với mỗi
.
Lời giải. Chỉ có không quá một hàm số thỏa mãn. Ta sẽ chứng minh thoả mãn các điều kiện của bài toán.
Có thể dễ thấy rằng , ta chỉ cần chứng minh
Nhưng bất đẳng thức này dễ chứng minh theo định nghĩa phần nguyên, chỉ cần đặt và biểu diễn mỗi thứ qua
.
Cuối cùng để hoàn tất lời giải, ta phải chứng minh rằng với mỗi
nguyên dương. Hay tương đương với
Điều này cũng chứng minh tương tự như trên.
Bài 3. (China TST 2007) Hàm thỏa mãn
và
Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực sao cho
Lời giải. Gọi là nghiệm dương của phương trình
. Theo bài 2 ta có
.
Giả sử là đa thức thỏa mãn thì
phải là đa thức bậc
, viết
. Ta phải tìm
sao cho
Từ đẳng thức trên ta có , từ bất đẳng thức này ta cho
đủ lớn thì sẽ được
. Thay trở lại đẳng thức phần nguyên lúc đầu ta được
. Nếu
thì hai phần lẻ đó cách nhau một khoảng không đổi với cùng một giá trị
. Nhưng ta biết là
trù mật trong
nên ta có thể chọn
để phần lẻ này gần
tùy ý, suy ra phần lẻ kia sẽ lớn hơn
, vô lý. Từ đây suy ra
. Và bởi vậy đa thức phải tìm là
.
Bài 4. (Iran TST 2012) Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
a) khi và chỉ khi
;
b)
c)
Chứng minh rằng
Lời giải. Bằng quy nạp theo ta có
Sử dụng c) ta được
Giả sử ngược lại, khi đó có và
để
. Từ đây, kết hợp với hai kết quả bên trên ta được
Đây là điều vô lí nếu kết hợp với b), và do đó bài toán được giải.
Bài 5. (IMO 2011) Cho hàm số thỏa mãn
Chứng minh rằng
Lời giải. Từ giả thiết ta có
Trong , thay
rồi
sau đó cộng theo vế ta được
Suy ra , do đó
Nếu có số thực sao cho
thì từ
ta có
với mỗi
đủ nhỏ, trái với điều ta vừa tìm được. Như vậy
, và do đó
.
Việc của ta bây giờ là chứng minh .
Trong cho
và dùng
ta có ngay
.
Bài 6. Cho trước số thực . Tìm tất cả các hàm số
sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn
a) và
;
b) ;
c) .
Bài 7. Cho số nguyên dương Tìm tất cả các hàm số
sao cho
Bài 8. Cho hàm số . Chứng minh rằng có các số thực
và
sao cho
Bài 9. Tìm tất cả các hàm số sao cho
và
Bài 10. Tìm tất cả các hàm số sao cho
và
Bài 11. (ISL 2001) Tìm tất cả các hàm số sao cho
Lời giải. Giả sử là một hàm thỏa mãn các yêu cầu của bài toán.
Nếu thì bằng cách cho
ta được
Nếu ta đặt
.
Ta nhận thấy là ,
, và
là một nhóm con của nhóm nhân các số thực khác
.
Ngược lại nếu là một nhóm con của
thì dễ thấy hàm số
xác định bởi
thỏa mãn các yêu cầu của bài toán (
là một số thực bất kì).
Như vậy đó là tất cả các nghiệm của bài toán.
Bài 12. Tìm tất cả các hàm số sao cho
Bài 13. (ISL 2004) Tìm tất cả các hàm số sao cho
Bài 14. (Iran TST 2012) Cho là một đa thức có bậc ít nhất
với hệ số dương. Tìm tất cả các hàm số
sao cho
Lời giải. Giả sử là một hàm số thỏa mãn các yêu cầu của bài toán.
Tính chất 1. Có các số thực dương sao cho
.
Chọn hai số thực dương sao cho
và lấy
bằng giá trị đó.
Cho và so sánh hai kết quả thu được ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 2. Cố định và đặt
. Khi đó ta có
.
Cho ta được
với mỗi
đủ lớn. Từ đây ta dễ có điều cần chứng minh.
Tính chất 3. Có hằng số để
.
Do giả thiết về , sẽ có số thực dương
sao cho
.
Theo tính chất trên ta có , không khó khăn lắm ta được tính chất 3.
Thay trở lại giả thiết ta được
Bài 15. (Iran TST 2011) Tìm tất cả các toàn ánh sao cho
Lời giải. Giả sử là một hàm thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Vì là toàn ánh nên có
sao cho
.
Cho ta được
và bởi quy nạp
Cho và so sánh hai kết quả ta được
.
Cho với
ta được
Kết hợp ta được
, nhưng
lại là toàn ánh, suy ra
Thử lại thấy đúng. Vậy hàm số phải tìm là
Bài 16. (IMO 2010) Tìm tất cả các hàm số sao cho
là số chính phương với mỗi hai số nguyên dương
.
Bài 17. (Iran TST 2011) Tìm tất cả các hàm số sao cho
là số chính phương với mỗi hai số nguyên dương
.