Mở đầu về đa thức Chebyshev


Một số bài toán tìm kiếm của Giải tích không thể giải được theo nghĩa tìm ra nghiệm chính xác. Chẳng hạn như bài toán tìm nghiệm thực của một đa thức bậc cao, giải các phương trình vi phân, …Với những bài toán kiểu này người ta tìm ra các thuật toán để tính gần đúng nghiệm, và như vậy cũng là đủ cho các ứng dụng thực tế. Ngành học nghiên cứu các thuật toán nói trên gọi là Giải tích số, các đa thức Chebyshev xuất hiện khắp nơi trong lĩnh vực này.

Trong phần đầu của bài viết tôi sẽ trình bày các tính chất sơ cấp nhất của các đa thức Chebyshev, bạn nào muốn tìm hiểu sâu thêm có thể tìm đọc sách của J.C. Mason và D.C. Handscomb. Ở phần thứ hai tôi sẽ giới thiệu một số bài toán đa thức trong các kỳ thi Olympic liên quan đến các kiến thức đã trình bày ở phần đầu.

1. Định nghĩa

Định lý và định nghĩa 1. Với mỗi số tự nhiên n, có duy nhất đa thức T_n sao cho T_n(\cos\alpha)=\cos n\alpha\,\,\forall\alpha\in\mathbb{R}. Các đa thức T_n được gọi là các đa thức Chebyshev loại một.

Định lý và định nghĩa 2. Với mỗi số tự nhiên n, có duy nhất đa thức U_n sao cho U_n(\cos\alpha)=\frac{\sin (n+1)\alpha}{\sin\alpha}\,\,\forall\alpha\in\mathbb{R}-\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\}.

Các đa thức U_n được gọi là các đa thức Chebyshev loại hai.

2. Các tính chất cơ bản

Tính chất 1. T_0(x)=1,T_1(x)=x, T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)\,\,\forall n>1.

Tính chất 2. U_0(x)=1,U_1(x)=2x, U_n(x)=2xU_{n-1}(x)-U_{n-2}(x)\,\,\forall n>1.

Tính chất 3. T_n là đa thức với hệ số thực có bậc n, hệ số cao nhất của nó bằng 2^{n-1}. T_n là hàm chẵn khi n chẵn, là hàm lẻ khi n lẻ.

Tính chất 4. T_n có đúng n nghiệm thực phân biệt là \displaystyle\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}, (k=0,1,\cdots,n-1.)

Tính chất 5. |T_n(x)|\leq 1\,\,\forall x\in [-1;1] và có dấu bằng khi và chỉ khi \displaystyle x=\cos\frac{k\pi}{n}\,\,\,\, (k\in\mathbb{Z}).

Tính chất 6. U_n là đa thức với hệ số thực có bậc n, hệ số cao nhất của nó bằng 2^{n}. U_n là hàm chẵn khi n chẵn, là hàm lẻ khi n lẻ.

Tính chất 7. U_n có đúng n nghiệm thực phân biệt.

Tính chất 8. U_n(x)-U_{n-2}(x)=2T_n(x)\,\,\,\forall n>1.

Tính chất 9. \displaystyle T_n\left[\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\,\,\,\forall n\geq 0\,\,\forall x\not=0.

Tính chất 10. \displaystyle U_n\left[\frac{1}{2}(x+x^{-1})\right]=\frac{x^{n+1}-x^{-(n+1)}}{x-x^{-1}}\,\,\,\forall n\geq 0\,\,\forall x\not=0,\pm 1.

Tính chất 11. T_m(T_n)=T_{mn}.

Tính chất 12. 2(1-x^2)U_{n-2}(x)=T_n(x)-T_{n-2}(x)\,\,\,\forall n>1.

Tính chất 13. \displaystyle T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2},\,\,\,\, |x|>1.

Tính chất 14. Nếu P_n là đa thức monic bậc n với hệ số thực thỏa mãn \displaystyle |P_n(x)|\leq\frac{1}{2^{n-1}} khi |x|\leq 1 thì \displaystyle P_n=\frac{T_n}{2^{n-1}}.

3. Bài tập

Bài 1. Cho số nguyên dương nG là đa thức xác định bởi

G(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{2^n}[(x+\sqrt{x^2-1})^n-(x-\sqrt{x^2-1})^n]\,\,\,\, (x\in\mathbb{R},\,\,|x|\geq 1.)

Chứng minh rằng \displaystyle G(x)=\prod_{k=0}^n\left(x-\cos\frac{k\pi}{n}\right).

Bài 2. Cho số nguyên dương nx_k=\cos\frac{k\pi}{n},\,\, k=0,1,\cdots,n.

Chứng minh rằng

1/. \displaystyle\prod_{j\not = k}(x_k-x_j)=\frac{(-1)^kn}{2^{n-1}},\,\,\, 1\leq k\leq n-1;

2/.  \displaystyle\prod_{j=1}^n(x_0-x_j)=\frac{n}{2^{n-2}};

3/.  \displaystyle\prod_{j=0}^{n-1}(x_n-x_j)=\frac{(-1)^nn}{2^{n-2}}.

Bài 3. (Định lý Chebyshev) Cho số nguyên dương nf\in\mathbb{R}[x] sao cho f là monic và có bậc n. Chứng minh rằng

\displaystyle \max_{-1\leq x\leq 1}|f(x)|\geq\frac{1}{2^{n-1}}

và bất đẳng thức này không thể làm tốt hơn.

Bài 4. Với mỗi f\in\mathbb{R}[x], kí hiệu \displaystyle ||f||=\max_{-1\leq x\leq 1}|f(x)|.

Chứng minh rằng với mỗi đa thức với hệ số thực f có bậc n ta có

|f(x)|\leq |T_n(x)|\cdot ||f||\,\,\forall x\in\mathbb{R},\,\, |x|\geq 1.

Bài 5. Cho các số thực a_0,a_1,\cdots,a_n thỏa mãn

|a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n|\leq 1\,\,\, \forall x\in [-1;1].

Chứng minh rằng

|a_n+a_{n-1}x+a_{n-2}x^2+\cdots+a_0x^n|\leq 2^{n-1}\,\,\, \forall x\in [-1;1].

Bài 6. Cho n là một số nguyên dương và P là một đa thức có bậc không quá n-1 với hệ số thực thỏa mãn \sqrt{1-x^2}|P(x)|\leq 1\,\,\forall x\in [-1;1].

Chứng minh rằng |P(x)|\leq n \,\,\forall x\in [-1;1].

Bài 7. Cho n là một số nguyên dương và \displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx) là một đa thức lượng giác bậc n với hệ số thực. Chứng minh rằng nếu |f(x)|\leq 1\,\,\forall x\in\mathbb{R} thì

|f'(x)|\leq n\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 8. Cho n là một số nguyên dương và P là một đa thức có bậc n với hệ số thực. Chứng minh rằng nếu |P(x)|\leq 1\,\,\forall x\in [-1;1] thì

|P'(x)|\leq n^2\,\,\forall x\in [-1;1].

Bài 9. Chứng minh rằng nếu \alpha\cos\alpha\pi là các số hữu tỷ thì 2\cos\alpha\pi \in\mathbb{Z}.

Bài 10. Cho P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\in\mathbb{R}[x]. Chứng minh rằng nếu |P(x)|\leq 1\,\,\forall x\in [-1;1] thì |a|+|b|+|c|+|d|\leq 7.

Bài 11. Xét hàm số F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} xác định bởi

\displaystyle F(a,b,c)=\max_{0\leq x\leq 3}|x^3-ax^2-bx-c|\,\,\,\,\,\forall (a,b,c)\in\mathbb{R}^3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của F.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s