A21-A30


A21. Cho hàm số f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn điều kiện

f(3x)\geq f(\dfrac{1}{2}f(2x))+2x\forall x>0.

Chứng minh rằng f(x)\geq x\,\,\forall x>0.

A22 (VMO 2003). Cho \mathcal{F} là tập các hàm f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn f(3x)\geq f(f(2x))+x\,\,\forall x>0.

Tìm số thực A lớn nhất sao cho f(x)\geq Ax\,\,\forall x>0\,\,\forall f\in\mathcal{F}.

A23 (APMO 1997). Cho tam giác ABC. Đặt l_a=\dfrac{m_a}{M_a},l_b=\dfrac{m_b}{M_b},l_c=\dfrac{m_c}{M_c}. Ở đây m_a,m_b,m_c là độ dài các phân giác trong (ứng với A,B,C) và M_a,M_b,M_c là độ dài các phân giác trong kéo dài cho đến khi chúng gặp (ABC) (ứng với A,B,C). Chứng minh rằng \dfrac{l_a}{\sin^2A}+\dfrac{l_b}{\sin^2B}+\dfrac{l_c}{\sin^2C}\geq 3.

Khi nào có dấu đẳng thức?

A24. Xác định dãy (a_n) bởi a_1=1,a_2=2a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng với mỗi m, số a_ma_{m+1} cũng là một số hạng của dãy.

A25 (MM). Cho các số nguyên b,c và số nguyên N>1. Chứng minh rằng có các số nguyên x_1,x_2,\cdots,x_{N+1} sao cho f(x_{N+1})=f(x_1)\cdot f(x_2)\cdots f(x_N), ở đây f(x)=x^2+bx+c.

A26. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số thực sao cho số aF_n+bF_{n+1} là một số Fibonacci với mỗi n.

A27 (Dự tuyển IMO 1981). Tìm tất cả các cặp (u,v) các số thực dương sao cho uF_n^2+vF_{n+1}^2 là một số Fibonacci với mỗi n.

A28. Tìm tất cả các số nguyên dương n>1 sao cho bất đẳng thức

x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n\leq\dfrac{n-1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)

đúng với mỗi các số dương x_1,x_2,\cdots,x_n.

A29 (IMO 1971). Cho E_n = (a_1 - a_2)(a_1 - a_3)\cdots (a_1 - a_n) + (a_2 - a_1)(a_2 - a_3)\cdots (a_2 - a_n) +

\cdots + (a_n - a_1)(a_n - a_2)\cdots (a_n - a_{n - 1}), và S_n là mệnh đề E_n\ge 0 với tất cả các số thực a_i. Chứng minh rằng S_n là đúng với n = 35, nhưng sai với mỗi n>2 khác.

A30 (China TST 2004). Tìm số thực k lớn nhất sao cho với mỗi các số thực dương a,b,c,d ta có

(a + b + c) \left[ 3^4(a + b + c + d)^5 + 2^4(a + b + c + 2d)^5 \right] \geq kabcd^3.

2 thoughts on “A21-A30”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s