A21-A30


A21. Cho hàm số f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn điều kiện

f(3x)\geq f(\dfrac{1}{2}f(2x))+2x\forall x>0.

Chứng minh rằng f(x)\geq x\,\,\forall x>0.

A22 (VMO 2003). Cho \mathcal{F} là tập các hàm f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn f(3x)\geq f(f(2x))+x\,\,\forall x>0.

Tìm số thực A lớn nhất sao cho f(x)\geq Ax\,\,\forall x>0\,\,\forall f\in\mathcal{F}.

A23 (APMO 1997). Cho tam giác ABC. Đặt l_a=\dfrac{m_a}{M_a},l_b=\dfrac{m_b}{M_b},l_c=\dfrac{m_c}{M_c}. Ở đây m_a,m_b,m_c là độ dài các phân giác trong (ứng với A,B,C) và M_a,M_b,M_c là độ dài các phân giác trong kéo dài cho đến khi chúng gặp (ABC) (ứng với A,B,C). Chứng minh rằng \dfrac{l_a}{\sin^2A}+\dfrac{l_b}{\sin^2B}+\dfrac{l_c}{\sin^2C}\geq 3.

Khi nào có dấu đẳng thức?

A24. Xác định dãy (a_n) bởi a_1=1,a_2=2a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng với mỗi m, số a_ma_{m+1} cũng là một số hạng của dãy.

A25 (MM). Cho các số nguyên b,c và số nguyên N>1. Chứng minh rằng có các số nguyên x_1,x_2,\cdots,x_{N+1} sao cho f(x_{N+1})=f(x_1)\cdot f(x_2)\cdots f(x_N), ở đây f(x)=x^2+bx+c.

A26. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số thực sao cho số aF_n+bF_{n+1} là một số Fibonacci với mỗi n.

A27 (Dự tuyển IMO 1981). Tìm tất cả các cặp (u,v) các số thực dương sao cho uF_n^2+vF_{n+1}^2 là một số Fibonacci với mỗi n.

A28. Tìm tất cả các số nguyên dương n>1 sao cho bất đẳng thức

x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n\leq\dfrac{n-1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)

đúng với mỗi các số dương x_1,x_2,\cdots,x_n.

A29 (IMO 1971). Cho E_n = (a_1 - a_2)(a_1 - a_3)\cdots (a_1 - a_n) + (a_2 - a_1)(a_2 - a_3)\cdots (a_2 - a_n) +

\cdots + (a_n - a_1)(a_n - a_2)\cdots (a_n - a_{n - 1}), và S_n là mệnh đề E_n\ge 0 với tất cả các số thực a_i. Chứng minh rằng S_n là đúng với n = 35, nhưng sai với mỗi n>2 khác.

Continue reading “A21-A30”

IMO 2012


Trước tôi có đăng đề chọn đội tuyển lần này. Đây là danh sách 06 bạn được chọn

1. Lê Quang Lâm, lớp 12, THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa

2. Nguyễn Phương Minh, lớp 12, THPT chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội

3. Nguyễn Tạ Duy, lớp 12, THPT chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội

4. Trần Hoàng Bảo Linh, lớp 11, trường Phổ thông Năng khiếu – đại
học Quốc Gia TP.HCM

5. Đậu Hải Đăng, lớp 12, THPT chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội

6. Nguyễn Hùng Tâm, lớp 12, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam

Theo thông tin từ em Hưng thì mình đoán năm nay ta có 2HCV và 4 HCB. Dưới đây là đề thi IMO 2012 và đáp án chính thức

Continue reading “IMO 2012”