Bài tập đại số (1)


A1. Cho f(x) là một hàm số xác định trên \mathbb{R}f(\tan x)=\sin 2x\,\,\forall x\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(\sin^3x)f(\cos^3x).

A2. Cho hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

1/. |f(x)|\leq 1\,\,\forall x\in\mathbb{R}

2/. f\left(x+\dfrac{13}{42}\right)+f(x)=f\left(x+\dfrac{1}{6}\right)+ f\left(x+\dfrac{1}{7}\right)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Chứng minh rằng f là hàm số tuần hoàn.

A3. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} sao cho

xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2)\,\,\forall x,y\in\mathbb{N}.

A4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A5. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(f(x-y))=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A6. Cho dãy (a_n) xác định bởi a_1=5

a_{n+1}=a_n^3-2a_n^2+2\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thỏa mãn 4|p-3p|a_{2011}+1 thì p=3.

A7. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a^2+b^2+c^2 \geq 3.

Chứng minh rằng \dfrac{(a+1)(b+2)}{(b+1)(b+5)} + \dfrac{(b+1)(c+2)}{(c+1)(c+5)}+\dfrac{(c+1)(a+2)}{(a+1)(a+5)} \geq \dfrac{3}{2}.

A8. Kí hiệu S là tập tất cả các số hữu tỷ dương. Tìm tất cả f:S \to S thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

f \left( \dfrac{x}{x+1}\right) = \dfrac{f(x)}{x+1}

f \left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^3} với mỗi x \in S.

A9. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại C_1,A_1,B_1. Chứng minh rằng

\sqrt {\dfrac {AB_1}{AB}} + \sqrt {\dfrac {BC_1}{BC}} + \sqrt {\dfrac {CA_1}{CA}}\leq\dfrac {3}{\sqrt {2}}.

A10. Gọi S là tập tất cả các số hữu tỷ dương.

Tìm tất cả các hàm f:S\to\mathbb{Z} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

1/. f(x)=f(1/x)\,\,\forall x\in S

2/. (x+1)f(x-1)=xf(x)\,\,\forall x\in S,x>1.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s