Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2012


Đề gồm 6 bài toán, thi trong hai ngày, mỗi ngày 270 phút.

Bài 1. Cho đường tròn (O) và hai điểm cố định B,C trên đường tròn sao cho BC không là đường kính của (O), A là một điểm di động trên đường tròn, A không trùng với B,C. Gọi D,K,J lần lượt là trung điểm của BC,CA,ABE,M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B,C trên BC, DJ, DK.Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M,N của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn cắt nhau tại T cố định khi A thay đổi.

Bài 2. Trên một cánh đồng hình chữ nhật kích thước m\times n ô vuông gồm m hàng và n cột người ta đặt một số máy bơm nước vào các ô vuông. Biết rằng mỗi máy bơm nước có thể tưới nước cho các ô vuông có chung cạnh với nó và các ô vuông cùng cột với nó và cách nó đúng một ô vuông . Tìm số nhỏ nhất các máy bơm nước sao cho các máy bơm nước có thể tưới hết cả cánh đồng trong hai trường hợp:

a) m=4;

b) m=3.

Bài 3. Cho số nguyên tố p\ge 17. Chứng minh rằng t=3 là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều kiện: Với các số nguyên bất kì a,b,c,d sao cho abc không chia hết cho pa+b+c chia hết cho p thì tồn tại các số nguyên x,y,z thuộc tập \{0;1;...;\left[\frac{p}{t}\right]-1\} sao cho ax+by+cz+d\vdots p.

Bài 4. Cho dãy số (x_n) xác định bởi x_1=1,x_2=2011x_{n+2}=4022x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb N. Chứng minh rằng \frac{x_{2012}+1}{2012} là số chính phương.

Bài 5. Chứng minh rằng c=10\sqrt{24} là hằng số lớn nhất thỏa mãn điều kiện: nếu có các số dương a_1,a_2,...,a_{17} sao cho \sum_{i=1}^{17}{a_i^2}=24\qquad ;\qquad \sum_{i=1}^{17}{a_i^3}+\sum_{i=1}^{17}{a_i}<c thì với mọi i,j,k thỏa mãn 1\le i<j<k\le 17, ta luôn có a_i,a_j,a_k là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 6. 42 học sinh tham dự kì thi chọn đội tuyển Olympic toán quốc tế. Biết rằng một học sinh bất kì quen đúng 20 học sinh khác. Chứng minh rằng ta có thể chia 42 học sinh thành hai nhóm hoặc 21 nhóm sao cho số học sinh trong các nhóm bằng nhau và hai học sinh bất kì trong cùng nhóm thì quen nhau.

14 thoughts on “Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2012”

  1. Đề chính xác cho Bài 2: Trên một cánh đồng hình chữ nhật kích thước m x n ô vuông gồm m hàng và n cột, người ta đặt một số máy bơm nước vào các ô vuông. Biết rằng mỗi máy bơm nước có thể tưới nước không những cho ô vuông chứa nó và các ô vuông có chung cạnh với ô đó mà
    còn có thể tưới cho các ô vuông cùng cột với nó và cách nó đúng một ô vuông. Tìm số nhỏ nhất các máy bơm nước cần đặt để các máy bơm đó có thể tưới hết cả cánh đồng trong hai
    trường hợp:
    a) m = 4;
    b) m = 3.

  2. Tôi hỏi để biết rằng nếu không có bài giải thì tôi sẽ giải. Nếu bộ giáo dục và đào tạo đưa ra bài giải thì tôi sẽ không giải.

  3. 1. Lê Quang Lâm, lớp 12, THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa (27 điểm).
    2. Nguyễn Phương Minh, lớp 12, THPT chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội (24 điểm) .
    3. Nguyễn Tạ Duy, lớp 12, THPT chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội ( 23.5 điểm).
    4. Trần Hoàng Bảo Linh, lớp 11, trường Phổ thông Năng khiếu – đại học Quốc Gia TP.HCM (22.5 điểm).
    5. Đậu Hải Đăng, lớp 12, THPT chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội (21.5 điểm).
    6. Nguyễn Hùng Tâm, lớp 12, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam (20.5 điểm).

  4. Đội hình này có vẻ oke đấy, có thể tin tưởng vào 2,3,5,6. Hai cháu 1,4 tôi không rõ thế nào nhưng chắc oke cả.

      1. Thi cử không nên đặt ngay trước mặt các cháu cả quả núi như thế, cứ để các cháu thấy bây giờ trước mắt là bầu trời, chỉ vậy thì trí tưởng tượng mới được phát huy tối đa.

      2. Ừ, tôi chỉ mong các cháu của tôi được mấy cái KK thôi, thường vẫn đặt mục tiêu lớn như thế!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s