Đếm


Bài 1. Cho n,r là các số nguyên dương thỏa mãn 1\leq r\leq n. Xét tất cả các tập con r phần tử của tập \{1,2,\cdots,n\}, mỗi tập con này có phần tử nhỏ nhất. Chứng minh rằng trung bình cộng của các phần tử nhỏ nhất này bằng \dfrac{n+1}{r+1}.

Bài 2. Cho tập S=\{1,2,\cdots,2002\}. Gọi T là tập gồm tất cả các tập con khác rỗng của tập S. Với mỗi X\in T, kí hiệu m(X) là trung bình cộng của các số thuộc X. Tính trung bình cộng của các m(X) với X chạy khắp T.

Bài 3. Tìm kết quả học tập ở một lớp học người ta thấy: Hơn \dfrac{2}{3} số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Toán cũng đạt điểm giỏi môn Lý, hơn \dfrac{2}{3} số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Lý cũng đạt điểm giỏi môn Văn, hơn \dfrac{2}{3} số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Văn cũng đạt điểm giỏi môn Sử, và hơn \dfrac{2}{3} số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Sử cũng đạt điểm giỏi môn Toán. Chứng minh rằng trong lớp có ít nhất một học sinh giỏi cả 4 môn trên.

Bài 4. Một đơn vị kiểm lâm muốn lập lịch đi tuần tra rừng cho cả năm 2006 với các yêu cầu sau

1/. Số ngày đi tuần tra nhiều hơn một nửa số ngày trong năm

2/. Không có hai ngày đi tuần tra nào cách nhau đúng một tuần

Chứng minh rằng có thể lập được lịch đi tuần. Hỏi có thể lập được bao nhiêu lịch đi tuần như vậy? (Năm 2006365 ngày)

Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm nhiều nhất 2008 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9?

Bài 6. Có bao nhiêu bộ bốn các số nguyên dương lẻ (x_1,x_2,x_3,x_4) thỏa mãn x_1+x_2+x_3+x_4=98.

Bài 7. Cho tập Sn>1 phần tử. Có bao nhiêu cách chọn hai tập con (không kể thứ tự) không cần khác nhau của S sao cho hợp của hai tập này bằng S?

Bài 8. Cho số nguyên dương n>1 và một hình vuông cỡ (n-1)\times (n-1). Chia hình vuông này thành (n-1)^2 ô vuông đơn vị theo cách thông thường. Mỗi một trong n^2 đỉnh của các ô vuông này được tô bởi một trong hai màu xanh, đỏ sao cho mỗi ô vuông đơn vị có đúng hai đỉnh xanh, hai đỉnh đỏ. Có bao nhiêu cách tô màu như vậy?

Bài 9. Tập Xn phần tử. Đối với cặp có thứ tự tập con (A_1,A_2) của X, ta tính số phần tử của A_1\cap A_2. Chứng minh rằng tổng các số nhận được bằng n4^{n-1}.

Bài 10. Cho số nguyên dương n>3. Hỏi một n-giác lồi có tất cả bao nhiêu đường chéo?

Bài 11. Cho số nguyên dương n>4 và một n-giác lồi P. Biết không có 3 đường chéo nào của P đồng quy. Hỏi khi ta kẻ tất cả các đường chéo thì có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo này? (Ta chỉ tính các giao điểm nằm bên trong đường chéo)

Bài 12. Cho số nguyên dương n>4 và một n-giác lồi P. Biết không có 3 đường chéo nào của P đồng quy. Hỏi khi ta kẻ tất cả các đường chéo thì các đường chéo này chia P thành bao nhiêu phần?

Bài 13. Cho số nguyên dương n>6 và một n-giác lồi P. Biết không có 3 đường chéo nào của P đồng quy. Hỏi khi ta kẻ tất cả các đường chéo thì có bao nhiêu tam giác được sinh ra?

Bài 14. Cho các số nguyên dương mn. Chứng minh rằng số các xâu nhị phân độ dài n chứa đúng m khối 01 bằng C_{n+1}^{2m+1}.

Bài 15.  Cho số nguyên dương n>2n-giác đều P. Có bao nhiêu tam giác tù có ba đỉnh là các đỉnh của P?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s