Đạo hàm và Bất đẳng thức (1)


Dành cho các bạn ôn thi Đại học.

——–

Bài 1. Chứng minh rằng

1/. \sin\alpha<\alpha<\tan\alpha\,\,\forall\alpha\in (0;\pi/2).

2/. e^x\geq 1+x\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 2. Cho 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}. Chứng minh rằng

1/. \sin\alpha>\alpha-\dfrac{\alpha^3}{6}.

2/. \alpha\sin\alpha+\cos\alpha>1.

3/. \sin\alpha>\dfrac{2\alpha}{\pi}.

4/. 2^{\sin\alpha}+2^{\tan\alpha}>2^{\alpha+1}.

Bài 3. Chứng minh rằng \dfrac{1}{3}<\sin 20^{\circ}<\dfrac{7}{20}.

Bài 4. Cho các số dương x,y thỏa mãn x+2y<\dfrac{5\pi}{4}. Chứng minh rằng \cos (x+y)<\dfrac{y\sin x}{x\sin y}.

Bài 5. Chứng minh rằng 4\tan 5^{\circ}\tan 9^{\circ}<3\tan 6^{\circ}\tan 10^{\circ}.

Bài 6. Cho 0<x<y<1. Chứng minh rằng \dfrac{1}{y-x}\left(\ln\dfrac{y}{1-y}-\ln\dfrac{x}{1-x}\right)>4.

Bài 7. Chứng minh rằng \log_23>\log_34.

Bài 8. Cho a\geq b>0. Chứng minh rằng \left(2^a+\dfrac{1}{2^a}\right)^b\leq \left(2^b+\dfrac{1}{2^b}\right)^a.

Bài 9. Cho 0<a<b<\dfrac{\pi}{2}. Chứng minh rằng a\sin a-b\sin b>2(\cos b-\cos a).

Bài 10. Chứng minh rằng x-\dfrac{x^2}{2}<\ln (x+1)<x\,\,\,\forall x>0, từ đó hãy tính \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\left(1+\dfrac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{n}{n^2}\right).

1 thought on “Đạo hàm và Bất đẳng thức (1)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s