Bài tập về Quy nạp 2


Đợt trước mỗ có post bài tập về Quy nạp. Đây là phần thêm.

———

Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi n>3, có n-giác lồi không đều sao cho tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ bên trong nó đến các cạnh là một hằng số.

Bài 2. (1995) Tồn tại hay không f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện

1/. f(x) bị chặn

2/. f(1)=1

3/. f\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)=f(x)+\left[f\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]^2\,\,\forall x\not =0.

Bài 3. (1993) Dãy số a_0,a_1,\cdots xác định bởi a_0=0,\,\,a_{n+1}=[\sqrt[3]{a_n+n}]^3\,\,\forall n\geq 0.

(ở đây [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.)

1/. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy

2/. Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho a_n=n.

Bài 4. (1960) Cho dãy các số nguyên dương a_1,a_2,\cdots thỏa mãn a_1=1a_{n+1}\leq 1+a_1+a_2+\cdots+a_n\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng mỗi số nguyên dương có thể biểu diễn như là tổng các số hạng có chỉ số khác nhau của dãy trên.

Bài 5. (1995) Cho k là một số nguyên dương. Chứng minh rằng có vô hạn số chính phương có dạng n\cdot 2^k-7, ở đây n là một số nguyên dương.

Bài 6. (1996) Một dãy hữu hạn các số nguyên a_0,a_1,\cdots,a_n được gọi là  bậc hai nếu với mỗi i=1,2,\cdots,n ta có |a_i-a_{i-1}|=i^2.

1/. Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên bc, có số nguyên dương n và dãy bậc hai a_0,a_1,\cdots,a_n thỏa mãn a_0=ba_n=c.

2/. Tìm số nguyên dương n bé nhất để có dãy bậc hai thỏa mãn a_0=0a_n=1996.

Bài 7. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có

1/. \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdots\dfrac{2n-1}{2n}<\dfrac{1}{\sqrt{3n}}.

2/. 1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{7}{4}.

3/. \dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2.

Bài 8. Cho số nguyên dương n>2 và đa giác lồi Pn đỉnh. Một số đường chéo của P được vẽ sao cho không có hai đường chéo nào có điểm trong chung. Chứng minh rằng có hai đỉnh của P không là đầu mút của bất cứ đường chéo vừa vẽ nào.

Bài 9. Cho số nguyên dương n và các số nguyên dương a_n>a_{n-1}>\cdots>a_1.

Chứng minh rằng a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3\geq (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2. Khi nào có dấu đẳng thức?

Bài 10. (1973) Cho c là một nửa đường tròn tâm O bán kính 1P_1,P_2,\cdots,P_nn điểm trên c, ở đây n là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng |\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}|\geq 1.

Bài 11. (2010) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình x^2+15y^2=2^n có ít nhất n nghiệm nguyên.

Bài 12. (1993) Cho các số nguyên dương nk thỏa mãn k\leq n. Gọi S là tập gồm n số thực phân biệt và T là tập tất cả các số thực có dạng x_1+x_2+\cdots+x_k, với x_1;x_2;\cdots;x_k là các phần tử phân biệt của S. Chứng minh rằng |T|\geq k(n-k)+1.

Bài 13. (1997) Cho A là một n\times n ma trận có các phần tử lấy từ tập S=\{1,2,\cdots,2n-1\}. A được gọi là ma trận bạc nếu với mỗi i=1,2,\cdots,n hàng thứ i và cột thứ i chứa đủ các phần tử của S (trong cả hai hàng và cột ấy). Chứng minh rằng

1/. Không thể có ma trận bạc với n=1997.

2/. Ma trận bạc tồn tại ứng với vô hạn giá trị $n$.

Bài 14. (1992) Cho số nguyên dương a. Gọi f(a) là số các ước dương có tận cùng là 1 hoặc 9 của a, g(a) là số các ước dương có tận cùng là 3 hoặc 7 của a. Chứng minh rằng f(a)\geq g(a).

Bài 15. (1998) Tìm tất cả các số nguyên dương n để có P\in\mathbb{R}[x] thỏa mãn P(x^{1998}-x^{-1998})=x^n-x^{-n}\,\,\forall x\not = 0.

Bài 16. (2000) Cho đa thức P(x)=x^3+153x^2-111x+38.

1/. Chứng minh rằng trong đoạn [1;3^{2000}] có ít nhất 9 số nguyên dương a sao cho P(a) chia hết cho 3^{2000}.

2/. Hỏi trong đoạn [1;3^{2000}] có tất cả bao nhiêu số nguyên dương aP(a) chia hết cho 3^{2000}?

Bài 17. (2000) Cho đa thức P(x)=x^3-9x^2+24x-97. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, có số nguyên dương a_n sac ho P(a_n) chia hết cho 3^n.

Bài 18. (2002) Cho các số nguyên dương m,n với m<2001,n<2002. Cho 2001\times 2002 số thực đôi một khác nhau. Điền các số đã cho vào các ô vuông con của bảng ô vuông kích thước 2001\times 2002 (bảng gồm 2001 hàng và 2002 cột) sao cho mỗi số được điền vào một ô và mỗi ô được điền một số. Ta gọi một ô vuông con của bảng là ô xấu nếu số nằm trong ô đó bé hơn ít nhất m số nằm cùng cột với nó và đồng thời bé hơn ít nhất n số nằm cùng hàng với nó. Với mỗi cách điền số nói trên, gọi s là số ô xấu của bảng số nhận được. Hãy tìm giá trị bé nhất của s.

Bài 19. (2011) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n và với mỗi số thực dương x, ta có \dfrac{x^n(x^{n+1}+1)}{x^n+1}\leq\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{2n+1}.

Bài 20. (1995) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n>2, có các số nguyên lẻ xy thỏa mãn 7x^2+y^2=2^n.

Bài 21. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình x^2+y^2+z^2=59^n có nghiệm nguyên dương.

Bài 22. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, có các số nguyên dương đôi một khác nhau x_1,x_2,\cdots,x_n thỏa mãn \sum\dfrac{1}{x_i}=1.

Bài 23. Chứng minh rằng phương trình \sum_{i=1}^n\dfrac{1}{x_i^2}=\dfrac{n+1}{x_{n+1}^2} có nghiệm nguyên dương nếu và chỉ nếu n>2.

Bài 24. Chứng minh rằng với mỗi n\geq 412, phương trình \sum\dfrac{1}{x_i^3}=1 có nghiệm nguyên dương.

Bài 25. Chứng minh rằng với mỗi n>2, phương trình \sum\dfrac{1}{x_i}=1 có nghiệm trong tập tất cả các số tam giác.

Bài 26. Chứng minh rằng với mỗi n\geq 6, phương trình \sum\dfrac{1}{x_i^2}=1 có nghiệm nguyên dương.

Bài 27. Chứng minh rằng với mỗi s>1, có các số nguyên dương đôi một khác nhau x_i sao cho \dfrac{1}{x_0^2}=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n^2}.

Bài 28. Cho số nguyên dương m. Chứng minh rằng với mỗi s đủ lớn, phương trình \sum_{i=1}^s\dfrac{1}{x_i^m}=1 có nghiệm nguyên dương.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s