Dãy tuyến tính


Cho dãy số (x_n)_{n\geq 0} và số nguyên dương k. Dãy số này được gọi là dãy tuyến tính thuần nhất bậc k nếu có các số phức c_i thỏa mãn

x_n=c_1x_{n-1}+c_2x_{n-2}+\cdots+c_kx_{n-k}\,\,\forall n\geq k.

Để tìm công thức tổng quát của dãy (x_n) ta cần quan tâm đến phương trình đa thức bậc k sau, gọi là phương trình đặc trưng của dãy x^k-c_1x^{k-1}-\cdots-c_{k-1}x-c_k=0.

Ta có hai định lý quan trọng sau

Định lý 1. Nếu phương trình đặc trưng của dãy có k nghiệm phức phân biệt t_1,t_2,\cdots,t_k thì có các số phức d_i sao cho

x_n=d_1t_1^n+d_2t_2^n+\cdots+d_kt_k^n\,\,\forall n\geq 0.

Hay x_n là một tổ hợp tuyến tính phức của t_1^n,t_2^n,\cdots,t_k^n với mỗi n.

Trong thực hành, các số d_i sẽ tìm được khi ta biết x_0,x_1,\cdots,x_{k-1}.

Định lý 2. Nếu phương trình đặc trưng của dãy có các nghiệm phức t_1,t_2,\cdots,t_r với các bội s_1,s_2,\cdots,s_r tương ứng. Thì x_n là một tổ hợp tuyến tính phức của t_1^n,nt_1^n,\cdots,n^{s_1-1}t_1^n;\cdots; t_r^n,nt_r^n,\cdots,n^{s_r-1}t_r^n.

Chú ý. Nếu công thức truy hồi của dãy (x_n) ở dạng x_n=c_1x_{n-1}+c_2x_{n-2}+\cdots+c_kx_{n-k}+y_n\,\,\forall n\geq k,

với (y_n) là một dãy số khác, thì ta nói dãy là tuyến tính không thuần nhất cấp k. Để tìm công thức số hạng tổng quát của dãy này ta đặt u_n=x_n+x_n^*\,\,\forall n\geq 1 và đi tìm một dãy (x_n^*) sao cho (u_n) là dãy tuyến tính thuần nhất cấp k.

Bài 1. Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số

1/. x_0=1,x_{n+1}=2x_n+n

2/. x_0=1,x_{n+1}=x_n+n+1

3/. x_0=1,x_{n+1}=3x_n+2^n

4/. x_0=1,x_{n+1}=2x_n+2^n.

Bài 2. Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số

1/. F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n

2/. x_0=1,x_1=6,x_{n+2}=6x_{n+1}-9x_n

3/. x_0=0,x_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2},x_{n+2}+x_{n+1}+x_n=0

4/. x_0=2,x_1=\dfrac{7}{2},x_{n+2}=\dfrac{1}{2}x_{n+1}+\dfrac{1}{2}x_n+3n+\dfrac{7}{2}+\left(\dfrac{5n}{2}+7\right)\cdot 2^n

5/. x_0=1,x_1=-7,x_{n+2}-10x_{n+1}+21x_n=12n-8-4\cdot 3^{n+1}.

Bài 3. Tìm tất cả các đa thức P với hệ số thực sao cho

P(1)=1,P(0)=2,1+P(x)=\dfrac{P(x+1)+P(x-1)}{2}\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 4. Cho a_0,a_1,\cdots,a_{n+1} là dãy hữu hạn các số thực thỏa mãn

a_0=a_{n+1}=0;|a_{k-1}-2a_k+a_{k+1}|\leq 1\,\,\forall k=1,2,\cdots,n.

Chứng minh rằng |a_k|\leq\dfrac{k(n+1-k)}{2}\,\,\forall k=0,1,\cdots,n+1.

Bài 5. Tìm công thức số hạng tổng quát của hai dãy

1/. x_0=2,y_0=-1;x_{n+1}=3x_n+y_n,y_{n+1}=2x_n+2y_n

2/. x_0=-1,y_0=-5;x_{n+1}=3x_n-y_n,y_{n+1}=x_n+y_n.

Bài 6. Tìm công thức số hạng tổng quát của hai dãy

1/. x_0=-1;x_{n+1}=\dfrac{2x_n-3}{3x_n-4}

2/. x_0=0,x_{n+1}=\dfrac{x_n+1}{1-x_n}

3/. x_0=0,x_{n+1}=\dfrac{4x_n-6}{x_n-1}.

Bài 7. Cho a_1=0. Tính a_{1000} nếu

1/. a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}(a_n+1)

2/. a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_n+1)

3/. a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{(n+3)(n+4)(n+5)}(a_n+1).

Bài 8. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy (x_n) nếu

x_1=2,x_2=3;x_{n+2}=\sqrt[3]{x_{n+1}x_n^2}\,\,\forall n\geq 1.

Bài 9. Cho dãy số thực (a_n) xác định bởi a_1=5

a_n=\sqrt[n]{a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2\cdot 3^{n-1}}\,\,\forall n\geq 2.

Tìm số hạng tổng quát của dãy và chứng minh dãy số giảm ngặt.

Bài 10. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy

x_2=1,x_3=2;x_n=(n-1)(x_{n-1}+x_{n-2})\,\,\forall n\geq 4.

Bài 11. Xét dãy số thực (x_n) được xác định bởi

x_1=1,x_{n+1}=\dfrac{(2+\cos 2\alpha)x_n+\cos^2\alpha}{(2-2\cos 2\alpha)x_n+2-\cos 2\alpha}\,\,\forall n\geq 1.

Ở đây \alpha là tham số thực. Tìm tất cả các số thực \alpha sao cho dãy (y_n) xác định bởi y_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2x_k+1}\,\,\forall n\geq 1 có giới hạn hữu hạn khi n\to +\infty. Tìm giới hạn của nó trong mỗi trường hợp đó.

Bài 12. Cho số thực \alpha\not =0 và dãy (x_n) xác định bởi x_1=0x_{n+1}(x_n+\alpha)=\alpha+1\,\,\forall n\geq 1.

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy và chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn khi n\to +\infty. Tìm giới hạn của dãy.

Bài 13. Cho dãy số (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{2}{3},x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}\,\,\forall n\geq 1.

Tính tổng 2001 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 14. Hai dãy (x_n)(y_n) xác định như sau

x_1=1,y_1=2;x_{n+1}=22y_n-15x_n,y_{n+1}=17y_n-12x_n\,\,\forall n\geq 1.

1/. Chứng minh rằng hai dãy số này có các tính chất: Không có số hạng nào bằng 0, có vô số số hạng là số âm, và có vô số số hạng là số dương.

2/. Hỏi các số hạng thứ 1999^{1945} của hai dãy này có chia hết cho 7 không?

Bài 15. Hai dãy (x_n)(y_n) xác định bởi

x_0=1,x_1=4;x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n\,\,\forall n\geq 0

y_0=1,y_1=2;y_{n+2}=3y_{n+1}-y_n\,\,\forall n\geq 0.

Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương a,b ta có a^2-5b^2+4=0 khi và chỉ khi có số tự nhiên k thỏa mãn a=x_k,b=y_k.

Bài 16. Cho các số nguyên a,b. Xét dãy các số nguyên (x_n) thỏa mãn x_0=a,x_1=b,x_2=2b-a+2x_{n+3}=3x_{n+2}-3x_{n+1}+x_n\,\,\forall n\geq 0.

1/. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy;

2/. Tìm tất cả a,b để x_n là số chính phương với mỗi n\geq 1998.

Bài 17. Cho dãy (a_n) xác định bởi a_0=20,a_1=100

a_{n+2}=4a_{n+1}+5a_n+20\,\,\forall n\geq 0.

Tìm số nguyên dương h nhỏ nhất có tính chất a_{n+h}-a_n chia hết cho 1998 với mỗi n\geq 0.

Bài 18. Cho dãy (a_n) xác định bởi a_0=1,a_1=45

a_{n+2}=45a_{n+1}-7a_n\,\,\forall n\geq 0.

1/. Tính số ước dương của a_{n+1}^2-a_na_{n+2} theo n;

2/. Chứng minh rằng 1997a_n^2+7^{n+1}\cdot 4 là số chính phương với mỗi n\geq 0.

Bài 19.Cho dãy (a_n) xác định bởi a_0=2

a_{n+1}=5a_n+\sqrt{24a_n^2-96}\,\,\forall n\geq 0.

1/. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy.

2/. Chứng minh rằng a_n\geq 2\cdot 5^n\,\,\forall n\geq 0.

Bài 20. Cho dãy (a_n) xác định bởi a_0=1,a_1=-1

a_{n+1}=6a_n+5a_{n-1}\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng a_{2012}-2010 chia hết cho 2011.

Bài 21. Tìm tất cả các số nguyên dương m>1 sao cho

F_{2k}^m+F_{2k+1}^m=\sum_{s=1}^{m-1}s\cdot F_{2k}^{s-1}\cdot F_{2k+1}^{s-1}\,\,\forall k\geq 1.

Bài 22. Dãy số (a_n) xác định bởi a_0=1,a_1=3a_{n+2}=a_{n+1}+9a_n nếu n chẵn, =9a_{n+1}+5a_n nếu n lẻ. Chứng minh rằng

1/. \sum_{k=1995}^{2000}a_k^2 chia hết cho 20.

2/. a_{2n+1} không phải là số chính phương với mỗi n\geq 0.

Bài 23. Cho dãy (g(n)) xác định bởi g(1)=0,g(2)=1

g(n+2)=g(n)+g(n+1)+1\,\,\forall n\geq 0.

Chứng minh rằng nếu p>5 là một số nguyên tố thì p|g(p)(g(p)+1).

Bài 24. Gọi \alpha là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x^3-3x^2+1=0. Chứng minh rằng [\alpha^{1987}][\alpha^{1988}] đều chia hết cho 17.

Bài 25. Cho dãy (g(n)) xác định bởi g(0)=0,g(1)=0

g(n+2)=-16^{n+1}g(n)+4^{n+2}g(n+1)+n\cdot 2^{n^2}\,\,\forall n\geq 0.

Chứng minh rằng nếu g(1989),g(1990)g(1991) đều chia hết cho 13.

Bài 26. Cho hai số thực dương a,b. Tìm tất cả các hàm f:[0;+\infty)\to [0;+\infty) thỏa mãn f(f(x))+af(x)=b(a+b)x\,\,\forall x\geq 0.

Bài 27.  Cho ba số thực a,bc thỏa mãn điều kiện: Với mỗi số nguyên dương n, a^n+b^n+c^n là một số nguyên. Chứng minh rằng có các số nguyên p,qr sao cho a,bc là các nghiệm của phương trình x^3+px^2+qx+r=0.

Bài 28. Ta nói một bộ ba các số nguyên dương (a,b,c)n-tốt nếu a\leq b\leq c,\gcd (a,b,c)=1a^n+b^n+c^n chia hết cho a+b+c. Chẳng hạn (1,2,2)5-tốt.

a) Xác định tất cả các bộ ba là n-tốt với mỗi số nguyên dương n;

b) Xác định tất cả các bộ ba là 2004-tốt và 2005-tốt nhưng không là 2007-tốt.

Bài 29. Cho dãy (x_n) xác định bởi x_1=1990,x_2=1989,x_3=2000

x_{n+3}=19x_{n+2}+9x_{n+1}+x_n+1991\,\,\forall n\geq 1.

1/. Với mỗi n, gọi r_n là số dư khi chia x_n cho 1992. Chứng minh rằng dãy (r_n) là dãy tuần hoàn;

2/. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương n sao cho

1992|5x_n^{1992}+4x_n^{1975}+5x_n^{1954}+8x_n^{1945}+2x_n^{1930}+11x_n^2+48.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s