Dãy đơn điệu


Bài 1. Cho p>1 số thực dương a_i. Chứng minh rằng các dãy số (s_n),(x_n) cho bởi

s_n=\dfrac{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_p^n}{p}x_n=\sqrt[n]{s_n} tăng.

Bài 2. Cho dãy bị chặn (a_n) thỏa mãn điều kiện a_{n+1}\geq a_n-\dfrac{1}{2^n}\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng dãy này hội tụ.

Bài 3. Chứng minh hai dãy (a_n),(b_n) xác định bởi

a_n=-2\sqrt{n}+\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{i}}b_n=-2\sqrt{n+1}+\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{i}} là hội tụ.

Bài 4. Cho dãy (a_n) thỏa mãn 0<a_n<1\,\,\forall n\geq 1

a_n(1-a_{n+1})>\dfrac{1}{4}\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng dãy này hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Bài 5. Cho dãy (a_n) xác định bởi a_0=0,a_1=\dfrac{1}{2}

a_{n+1}=\dfrac{1}{3}(1+a_n+a_{n-1}^3)\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng dãy này hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Bài 6. Chứng minh rằng hai dãy (a_n),(b_n) hội tụ.

Trong đó a_n=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{i^2},b_n=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{i^i}.

Bài 7. Chứng minh rằng dãy (a_n) xác định bởi

a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\dfrac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{(2n-1)2n}}

là dãy số hội tụ.

Bài 8. Tìm giới hạn của dãy (a_n) trong mỗi trường hợp

1/. a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}};

2/. a_1=9,a_2=6,a_{n+2}=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}.

Bài 9. Chứng minh rằng hai dãy (a_n),(b_n) sau có cùng giới hạn

1/. 0<b_1<a_1,a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n};

2/. 0<b_1<a_1,a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n},b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2};

3/. 0<b_1<a_1,a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\dfrac{2a_nb_n}{a_n+b_n}.

Bài 10. Chứng minh rằng dãy (s_n) xác định bởi

s_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\left(\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+\cdots+\dfrac{2^n}{n}\right)

Bài 11. Cho dãy bị chặn (a_n) thỏa mãn

a_{n+2}\leq\dfrac{1}{3}a_{n+1}+\dfrac{2}{3}a_n\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng dãy số này hội tụ.

Bài 12. Cho hai dãy (a_n)(b_n) xác định bởi

a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n,b_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\,\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng (a_n) tăng còn (b_n) giảm. Từ đó suy ra

\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\,\,\,\forall n\geq 1.

Bài 13. Cho dãy (a_n) xác định bởi

a_n=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng dãy số này tăng kể từ lúc nào đó.

Bài 14. Chứng minh hai dãy (a_n)(b_n) xác định bởi

a_n=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln (n+1)\,\,\,\forall n\geq 1

b_n=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln n\,\,\,\forall n\geq 1

hội tụ và có cùng giới hạn.

Bài 15. (VMO 2011) Cho dãy số thực (a_n) xác định bởi a_1=1

a_n=\dfrac{2n}{(n-1)^2}\cdot\sum_{i=1}^{n-1}a_i\,\,\forall n\geq 2.

Với mỗi số nguyên dương n, đặt y_n=x_{n+1}-x_n. Chứng minh rằng dãy số (y_n) có giới hạn hữu hạn khi n\to +\infty.

——–

P.S. Anh em giúp mình góp thêm bài nhé! Trừ bài dạng u_{n+1}=f(u_n).

5 thoughts on “Dãy đơn điệu”

  1. Em thưa thầy, bài 15 dãy \left( {{x_{n + 1}} - {x_n}} \right) hội tụ thì dãy \left( {\frac{{{x_n}}}{n}} \right) có hội tụ không thầy?
    ps: thầy del hộ em post trên với.

  2. À à, lúc đầu làm bài 15, em cũng nghĩ vậy, nhưng lúc sau em tưởng điều trên không đúng, em có xem lại rồi. Hôm đấy em đặt dãy mới với {b_n} = \frac{{{a_n}}}{n}\forall n \ge 1 nhưng rồi tính ra cấp số nhân có dạng {b_{n + 1}} = \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}{b_n}\forall n \ge 1. Đây hiển nhiên là dãy tăng nhưng em chưa chặn trên được nên nghi ngờ về tính hội tụ của nó, em cứ tưởng nó tiến tới vô cùng khi n tiến tới vô cùng,😀 Hóa ra không phải.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s