Chứng minh vuông góc

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O;SA$ vuông góc với $(ABCD)$ . Gọi $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,SC,SD$ .

a) Chứng minh rằng $BC$ vuông góc với $(SAB)$ , $CD$ vuông góc với $(SAD)$ , $BD$ vuông góc với $(SAC)$ .

b) Chứng minh rằng $AH,AK$ cùng vuông góc với $SC$ . Từ đó suy ra $AH,AI,AK$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

c) Chứng minh rằng $HK$ vuông góc với $(SAC)$ . Từ đó suy ra $HK$ vuông góc với $AI$ .

Bài 2. Tứ diện $SABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ .

a) Chứng minh rằng $BC$ vuông góc với $(SAB)$ .

b) Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $SAB$ . Chứng minh rằng $AH$ vuông góc với $SC$ .

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ . Biết rằng $SA=SC,SB=SD$ .

a) Chứng minh rằng $SO$ vuông góc với đáy hình chóp.

b) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BA,BC$ . Chứng minh rằng $IJ$ vuông góc với $(SBD)$ .

Bài 4. Tứ diện $ABCD$ có $ABC,DBC$ là các tam giác đều, gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$ .

a) Chứng minh rằng $BC\bot (AID)$ ;

b) Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $AID$ . Chứng minh rằng $AH\bot (BCD)$ .

Bài 5. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ . Mặt bên $SAB$ là tam giác đều, $SCD$ là tam giác vuông cân đỉnh $S$ . Gọi $I,J$ là trung điểm của $AB,CD$ .

a) Tính các cạnh của $\Delta SIJ$ và chứng minh $SI\bot (SCD)$ , $SJ\bot (SAB)$ .

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $IJ$ . Chứng minh rằng $SH\bot AC$ .

c) Gọi $M$ là một điểm thuộc $CD$ sao cho $BM\bot SA$ . Tính $AM$ theo $a$ .

Đáp số: $a,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$

Bài 6. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $SC=a\sqrt{2}$ . Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$ .

a) Chứng minh rằng $SH\bot (ABCD)$ .

b) Chứng minh rằng $AC\bot SK,CK\bot SD$ .

Bài 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,BC=a\sqrt{3}$ , mặt bên $SBC$ vuông tại $B$ , mặt bên $(SCD)$ vuông tại $D$ có $SD=a\sqrt{5}$ .

a) Chứng minh rằng $SA\bot (ABCD)$ và tính $SA$ .

b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AC$ cắt các đường thẳng $CB,CD$ lần lượt tại $I,J$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SC$ . Hãy xác định các giao điểm $K,L$ của $SB,SD$ với $(HIJ)$ . Chứng minh rằng $AK\bot (SBC),AL\bot (SCD)$ .

c) Tính diện tích của $AKHL$ .

Đáp số: $a\sqrt{2},\dfrac{8a^2}{15}$ .

Bài 8. Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ . Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$ . Trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại $D$ ta lấy $S$ sao cho $SD=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ . Chứng minh rằng $(SAB)\bot (SAC).$

Bài 9. Cho hình tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC,ABD$ cùng vuông góc với đáy $(BDC)$ . Vẽ các đường cao $BE,DF$ của tam giác $BCD$ , đường cao $DK$ của tam giác $ACD$ .

a) Chứng minh $AB\bot (BCD)$ .

b) Chứng minh $(ABE)\bot (ADC),(DFK)\bot (ADC)$ .

c) Gọi $O,H$ lần lượt là trực tâm của hai tam giác $BCD,ACD$ . Chứng minh $OH\bot (ADC)$ .

Bài 10. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA\bot (ABCD)$ . Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên đoạn $BC,DC$ sao cho $BM=\dfrac{a}{2},DN=\dfrac{3a}{4}$ . Chứng minh rằng $(SAM)\bot (SMN)$ .

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Vẽ $BB',CC'$ cùng vuông góc với $(ABC)$ và hai điểm $B',C'$ nằm về cùng một bên đối với $(ABC)$ .

a) Chứng minh $(ABB')\bot (ACC')$ .

b) Gọi $AH,AK$ là các đường cao của các tam giác $ABC,AB'C'$ . Chứng minh rằng $(BCC'B')\bot (AHK),(AB'C')\bot (AHK)$ .

Bài 12. Gọi $I$ là một điểm bất kì nằm trong đường tròn $(O)$ , tâm $O$ , bán kính $R$ . Gọi $CD$ là môt dây cung đi qua $I$ của $(O)$ . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn $(O)$ tại $I$ ta lấy $S$ sao cho $OS=R$ . Gọi $E$ là điểm đối tâm của $D$ . Chứng minh rằng

a) $\Delta SDE$ vuông.

b) $SD\bot CE$ .

c) $\Delta SCD$ vuông.

Bài 13. $\Delta MAB$ vuông tại $M$ ở trong mặt phẳng $(\alpha)$ . Trên đường thẳng vuông góc với $(\alpha)$ tại $A$ lấy $C,D$ ở hai bên của $A$ . Gọi $C'$ là hình chiếu của $C$ trên $MD$ , $H$ là giao điểm của $AM$ và $CC'$ .

a) Chứng minh $CC'\bot (MBD)$ .

b) Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$ . Chứng minh rằng $K$ là trực tâm của $\Delta BCD$ .

Bài 14. Trong $(P)$ cho tam giác $ABC$ với cả ba góc nhọn. Trên $(d)\bot (P)$ tại $A$ , lấy $M$ . Dựng $BK\bot AC,BH\bot CM$ . Gọi $N$ là giao của $KH$ và $(d)$ .

a) Chứng minh $BN\bot CM,BM\bot CN.$

b) Tìm vị trí của $M$ để $MN$ nhỏ nhất.

1 thought on “Chứng minh vuông góc”

M	T	W	T	F	S	S
« Aug				Oct »
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

	Nguyen Trung Tuan on Một số sách nên đọc đối với họ…
	Nam on Một số sách nên đọc đối với họ…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Comb…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Number…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Number…
	Khánh Huyền on IMO 2017 – Day 2
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…
	IMO 2017 – Day… on IMO 2017 – Day 1

Share this:

Like this:

Related

1 thought on “Chứng minh vuông góc”

Leave a Reply Cancel reply