Chứng minh vuông góc

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O;SA$ vuông góc với $(ABCD)$ . Gọi $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,SC,SD$ .

a) Chứng minh rằng $BC$ vuông góc với $(SAB)$ , $CD$ vuông góc với $(SAD)$ , $BD$ vuông góc với $(SAC)$ .

b) Chứng minh rằng $AH,AK$ cùng vuông góc với $SC$ . Từ đó suy ra $AH,AI,AK$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

c) Chứng minh rằng $HK$ vuông góc với $(SAC)$ . Từ đó suy ra $HK$ vuông góc với $AI$ .

Bài 2. Tứ diện $SABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ .

a) Chứng minh rằng $BC$ vuông góc với $(SAB)$ .

b) Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $SAB$ . Chứng minh rằng $AH$ vuông góc với $SC$ .

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ . Biết rằng $SA=SC,SB=SD$ .

a) Chứng minh rằng $SO$ vuông góc với đáy hình chóp.

b) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BA,BC$ . Chứng minh rằng $IJ$ vuông góc với $(SBD)$ .

Bài 4. Tứ diện $ABCD$ có $ABC,DBC$ là các tam giác đều, gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$ .

a) Chứng minh rằng $BC\bot (AID)$ ;

b) Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $AID$ . Chứng minh rằng $AH\bot (BCD)$ .

Bài 5. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ . Mặt bên $SAB$ là tam giác đều, $SCD$ là tam giác vuông cân đỉnh $S$ . Gọi $I,J$ là trung điểm của $AB,CD$ .

a) Tính các cạnh của $\Delta SIJ$ và chứng minh $SI\bot (SCD)$ , $SJ\bot (SAB)$ .

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $IJ$ . Chứng minh rằng $SH\bot AC$ .

c) Gọi $M$ là một điểm thuộc $CD$ sao cho $BM\bot SA$ . Tính $AM$ theo $a$ .

Đáp số: $a,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$

Bài 6. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $SC=a\sqrt{2}$ . Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$ .

a) Chứng minh rằng $SH\bot (ABCD)$ .

b) Chứng minh rằng $AC\bot SK,CK\bot SD$ .

Bài 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,BC=a\sqrt{3}$ , mặt bên $SBC$ vuông tại $B$ , mặt bên $(SCD)$ vuông tại $D$ có $SD=a\sqrt{5}$ .

a) Chứng minh rằng $SA\bot (ABCD)$ và tính $SA$ .

b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AC$ cắt các đường thẳng $CB,CD$ lần lượt tại $I,J$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SC$ . Hãy xác định các giao điểm $K,L$ của $SB,SD$ với $(HIJ)$ . Chứng minh rằng $AK\bot (SBC),AL\bot (SCD)$ .

c) Tính diện tích của $AKHL$ .

Đáp số: $a\sqrt{2},\dfrac{8a^2}{15}$ .

Bài 8. Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ . Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$ . Trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại $D$ ta lấy $S$ sao cho $SD=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ . Chứng minh rằng $(SAB)\bot (SAC).$

Bài 9. Cho hình tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC,ABD$ cùng vuông góc với đáy $(BDC)$ . Vẽ các đường cao $BE,DF$ của tam giác $BCD$ , đường cao $DK$ của tam giác $ACD$ .

a) Chứng minh $AB\bot (BCD)$ .

b) Chứng minh $(ABE)\bot (ADC),(DFK)\bot (ADC)$ .

c) Gọi $O,H$ lần lượt là trực tâm của hai tam giác $BCD,ACD$ . Chứng minh $OH\bot (ADC)$ .

Bài 10. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA\bot (ABCD)$ . Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên đoạn $BC,DC$ sao cho $BM=\dfrac{a}{2},DN=\dfrac{3a}{4}$ . Chứng minh rằng $(SAM)\bot (SMN)$ .

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Vẽ $BB',CC'$ cùng vuông góc với $(ABC)$ và hai điểm $B',C'$ nằm về cùng một bên đối với $(ABC)$ .

a) Chứng minh $(ABB')\bot (ACC')$ .

b) Gọi $AH,AK$ là các đường cao của các tam giác $ABC,AB'C'$ . Chứng minh rằng $(BCC'B')\bot (AHK),(AB'C')\bot (AHK)$ .

Bài 12. Gọi $I$ là một điểm bất kì nằm trong đường tròn $(O)$ , tâm $O$ , bán kính $R$ . Gọi $CD$ là môt dây cung đi qua $I$ của $(O)$ . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn $(O)$ tại $I$ ta lấy $S$ sao cho $OS=R$ . Gọi $E$ là điểm đối tâm của $D$ . Chứng minh rằng

a) $\Delta SDE$ vuông.

b) $SD\bot CE$ .

c) $\Delta SCD$ vuông.

Bài 13. $\Delta MAB$ vuông tại $M$ ở trong mặt phẳng $(\alpha)$ . Trên đường thẳng vuông góc với $(\alpha)$ tại $A$ lấy $C,D$ ở hai bên của $A$ . Gọi $C'$ là hình chiếu của $C$ trên $MD$ , $H$ là giao điểm của $AM$ và $CC'$ .

a) Chứng minh $CC'\bot (MBD)$ .

b) Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$ . Chứng minh rằng $K$ là trực tâm của $\Delta BCD$ .

Bài 14. Trong $(P)$ cho tam giác $ABC$ với cả ba góc nhọn. Trên $(d)\bot (P)$ tại $A$ , lấy $M$ . Dựng $BK\bot AC,BH\bot CM$ . Gọi $N$ là giao của $KH$ và $(d)$ .

a) Chứng minh $BN\bot CM,BM\bot CN.$

b) Tìm vị trí của $M$ để $MN$ nhỏ nhất.

1 thought on “Chứng minh vuông góc”

M	T	W	T	F	S	S
« Aug				Oct »
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

	Hoàng Anh on Đề chọn đội VMO 2018
	Nguyen Trung Tuan on Một số sách nên đọc đối với họ…
	Nam on Một số sách nên đọc đối với họ…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Comb…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Number…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Number…
	Khánh Huyền on IMO 2017 – Day 2
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…

Share this:

Like this:

Related

1 thought on “Chứng minh vuông góc”

Leave a Reply Cancel reply