Bài 1. Cho hình chóp có đáy
là hình vuông tâm
vuông góc với
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
trên
.
a) Chứng minh rằng vuông góc với
,
vuông góc với
,
vuông góc với
.
b) Chứng minh rằng cùng vuông góc với
. Từ đó suy ra
cùng nằm trong một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng vuông góc với
. Từ đó suy ra
vuông góc với
.
Bài 2. Tứ diện có tam giác
vuông tại
và
vuông góc với mặt phẳng
.
a) Chứng minh rằng vuông góc với
.
b) Gọi là đường cao của tam giác
. Chứng minh rằng
vuông góc với
.
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm
. Biết rằng
.
a) Chứng minh rằng vuông góc với đáy hình chóp.
b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Chứng minh rằng
vuông góc với
.
Bài 4. Tứ diện có
là các tam giác đều, gọi
là trung điểm của cạnh
.
a) Chứng minh rằng ;
b) Vẽ đường cao của tam giác
. Chứng minh rằng
.
Bài 5. Hình chóp có đáy là hình vuông cạnh
. Mặt bên
là tam giác đều,
là tam giác vuông cân đỉnh
. Gọi
là trung điểm của
.
a) Tính các cạnh của và chứng minh
,
.
b) Gọi là hình chiếu vuông góc của
trên
. Chứng minh rằng
.
c) Gọi là một điểm thuộc
sao cho
. Tính
theo
.
Đáp số:
Bài 6. Hình chóp có đáy là hình vuông cạnh
, mặt bên
là tam giác đều và
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
.
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
Bài 7. Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật với
, mặt bên
vuông tại
, mặt bên
vuông tại
có
.
a) Chứng minh rằng và tính
.
b) Đường thẳng qua vuông góc với
cắt các đường thẳng
lần lượt tại
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
. Hãy xác định các giao điểm
của
với
. Chứng minh rằng
.
c) Tính diện tích của .
Đáp số: .
Bài 8. Cho đều cạnh
. Gọi
là điểm đối xứng với
qua
. Trên đường thẳng vuông góc với
tại
ta lấy
sao cho
. Chứng minh rằng
Bài 9. Cho hình tứ diện có hai mặt
cùng vuông góc với đáy
. Vẽ các đường cao
của tam giác
, đường cao
của tam giác
.
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .
c) Gọi lần lượt là trực tâm của hai tam giác
. Chứng minh
.
Bài 10. Hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
và
. Gọi
lần lượt là hai điểm trên đoạn
sao cho
. Chứng minh rằng
.
Bài 11. Cho tam giác vuông tại
. Vẽ
cùng vuông góc với
và hai điểm
nằm về cùng một bên đối với
.
a) Chứng minh .
b) Gọi là các đường cao của các tam giác
. Chứng minh rằng
.
Bài 12. Gọi là một điểm bất kì nằm trong đường tròn
, tâm
, bán kính
. Gọi
là môt dây cung đi qua
của
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn
tại
ta lấy
sao cho
. Gọi
là điểm đối tâm của
. Chứng minh rằng
a) vuông.
b) .
c) vuông.
Bài 13. vuông tại
ở trong mặt phẳng
. Trên đường thẳng vuông góc với
tại
lấy
ở hai bên của
. Gọi
là hình chiếu của
trên
,
là giao điểm của
và
.
a) Chứng minh .
b) Gọi là hình chiếu của
trên
. Chứng minh rằng
là trực tâm của
.
Bài 14. Trong cho tam giác
với cả ba góc nhọn. Trên
tại
, lấy
. Dựng
. Gọi
là giao của
và
.
a) Chứng minh
b) Tìm vị trí của để
nhỏ nhất.
One thought on “Chứng minh vuông góc”