Đường thẳng cân bằng và một bài thi IMO


Nhân một bài IMO 2011 có liên quan đến đường thẳng cân bằng, tôi có tìm hiểu thêm về chúng. Tài liệu chứa một vài bài toán về đường thẳng cân bằng mà tôi tìm được khi làm việc về đường này.

Bài 1. Trong mặt phẳng có 2n điểm (n\in\mathbb{N}^*) phân biệt. Chứng minh rằng có một đường thẳng chia mặt phẳng làm hai phần sao cho mỗi phần chứa n điểm.

Lời giải. Có nhiều nhất C_n^2 đường thẳng đi qua hai trong số các điểm đã cho, vì vậy sẽ có ít nhất một đường thẳng (kí hiệu bởi d) trong mặt phẳng sao cho nó không vuông góc với bất kì đường thẳng nào đi qua hai trong số các điểm đã cho. Gọi A_1,A_2,\cdots,A_{2n} là hình chiếu vuông góc của các điểm đã cho lên d. Bởi cách chọn d, các điểm này là đôi một khác nhau. Không mất tính tổng quát ta coi các điểm này nằm trên d theo thứ tự A_1,A_2,\cdots,A_{2n}, lấy A là điểm nằm trên đoạn thẳng A_nA_{n+1} nhưng không trùng với các đầu mút. Khi đó đường thẳng l đi qua A và vuông góc với d là đường thẳng cần tìm. \Box

Bài 2.  Trong mặt phẳng có 2n+2 điểm (n\in\mathbb{N}^*), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có một đường thẳng đi qua hai trong số các điểm đó và chia mặt phẳng làm hai phần sao cho mỗi phần chứa n điểm.

Lời giải. Do không có ba điểm nào trong các điểm đã cho thẳng hàng nên bao lồi của chúng phải là một đa giác lồi thực sự. Gọi A là một đỉnh của bao lồi này và B,C là hai đỉnh của bao lồi kề với A. Cũng bởi không có ba điểm nào thẳng hàng trong các điểm này mà ta có thể đánh số các điểm còn lại là D_1,D_2,\cdots,D_{2n-1} sao cho \widehat{BAD_1}<\widehat{BAD_2}<\cdots<\widehat{BAC}. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm AD_n sẽ là đường thẳng có tính chất mà đầu bài đòi hỏi. \Box

Bài 3.Trong mặt phẳng có 2n điểm (n\in\mathbb{N}^*,n>1), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta tô n điểm màu xanh, n điểm còn lại màu đỏ. Một đường thẳng được gọi là cân bằng nếu nó đi qua một điểm xanh và một điểm đỏ, đồng thời ở mỗi nửa mặt phẳng xác định bởi nó, số điểm đỏ bằng số điểm xanh. Chứng minh rằng có ít nhất hai đường thẳng cân bằng.

Bài 4.  Một tập hữu hạn S gồm ít nhất 2 điểm trên mặt phẳng. Giả sử không có 3 điểm nào của S thẳng hàng. Một cối xay gió là một quá trình bắt đầu với một đường thẳng \ell đi qua một điểm duy nhất P\in S. Đường thẳng quay theo chiều kim đồng hồ quanh P cho đến khi gặp một điểm khác cũng thuộc S. Điểm mới này, Q, là trục quay mới, và đường thẳng \ell tiếp tục quay theo chiều kim đồng hồ đến khi gặp một điểm khác của S. Quá trình này lặp lại vô hạn lần. Chứng minh rằng ta có thể chọn một điểm P \in S và đường thẳng \ell đi qua P sao cho mỗi điểm của S được sử dụng làm trục quay vô hạn lần.

… …

P.S. Mời anh em góp thêm bài cho bài viết này.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s