Môđun của số phức


B1. Tìm môđun của số phức z nếu 4\bar{z}+(1+3i)z=25+21i.

B2. Cho hai số phức z_1,z_2 thỏa mãn |z_1-2i|=\sqrt{2}|iz_1+1||z_2-2i|=\sqrt{2}|iz_2+1|. Tính |z_1+z_2| nếu biết thêm |z_1-z_2|=1.

B3. Cho số phức z thỏa mãn |z|=1\left|z+\dfrac{i}{z}\right|=\sqrt{2}. Tính tổng S=1+z^2+z^4+\cdots+z^{2010}.

Đáp số: 1006;0.

 B4. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện |iz-3|=|z-2-i|.

B5. Tìm số phức z thỏa mãn z\sqrt{3z\bar{z}+1}=|z|(2+6iz).

B6. Tìm số phức z sao cho \dfrac{z+2i}{z-i} là số ảo và |z| đạt giá trị lớn nhất.

 B7. Cho các số phức x,y thỏa mãn x\bar{y}+1\not =0|x|=|y|=1. Chứng minh rằng \left(\dfrac{x+\bar{y}}{x\bar{y}+1}\right)^2=\left|\dfrac{1+xy}{x+y}\right|.

B8. Cho các số phức x,y thỏa mãn |x+1+i|=|x|,|y-2-2i|=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |x-y|.

B9. Chứng minh rằng |x+y|^2+|x-y|^2=2(|x|^2+|y|^2)\,\,\forall x,y\in\mathbb{C}.

B10. Chứng minh rằng nếu x,y là các số phức thỏa mãn |x|=|y|=1xy+1\not =0 thì \dfrac{x+y}{1+xy} là một số thực.

B11. Cho số phức z thỏa mãn \left|z+\dfrac{1}{z}\right|=3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của |z|.

Đáp số: \dfrac{\pm 3+\sqrt{13}}{2}.

B12. Chứng minh rằng với mỗi số phức z ta có |z+1|\geq\dfrac{1}{\sqrt{2}} hoặc |z^2+1|\geq 1.

B13. Chứng minh rằng với mỗi số phức z thỏa mãn |z|=1 ta có \sqrt{\dfrac{7}{2}}\leq |1+z|+|1-z+z^2|\leq 3\sqrt{\dfrac{7}{6}}.

B14. Cho H=\{z\in\mathbb{C}|z=x-1+xi,x\in\mathbb{R}\}. Chứng minh rằng có duy nhất z\in H để |z|\leq |w|\,\,\forall w\in H.

B15. Cho z là số phức khác 0 thỏa mãn \left|z^3+\dfrac{1}{z^3}\right|\leq 2. Chứng minh rằng \left|z+\dfrac{1}{z}\right|\leq 2.

B16. Tìm các số phức z thỏa mãn 4z^2+8|z|^2=8.

B17. Chứng minh rằng với mỗi số phức z có phần thực lớn hơn 1 ta có \left|\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{2}\right|<\dfrac{1}{2}.

B18. Tìm tất cả các số phức z sao cho |z|=|1/z|.

B19. Cho z_1,z_2 là các số phức thỏa mãn |z_1+z_2|=\sqrt{3}|z_1|=|z_2|=1. Tính |z_1-z_2|.

B20. Cho z_1,z_2,z_3 là các số phức thỏa mãn |z_1|=|z_2|=|z_3|=1. Chứng minh rằng |z_1-z_2|\cdot |z_2-z_3|+|z_2-z_3|\cdot |z_3-z_1|+|z_3-z_1|\cdot |z_1-z_2|\leq 9.

B21. Cho u,v,w,z là các số phức thỏa mãn |u|<1,|v|=1w=\dfrac{v(u-z)}{\bar{u}\cdot z-1}. Chứng minh rằng latex w|\leq 1 \Leftrightarrow |z|\leq 1.$

B22. Cho z_1,z_2,z_3 là các số phức thỏa mãn z_1+z_2+z_3=0|z_1|=|z_2|=|z_3|=1. Chứng minh rằng z_1^2+z_2^2+z_3^2=0.

B23. Cho các số phức z_1,z_2,\cdots,z_{2011} thỏa mãn

|z_1|=|z_2|=\cdots =|z_{2011}|=1.

Chứng minh rằng \dfrac{(z_1+z_2)(z_2+z_3)(z_3+z_4)\cdots (z_{2011}+z_1)}{z_1z_2\cdots z_{2011}}\in\mathbb{R}.

B24. Chứng minh rằng nếu z_1,z_2,z_3 là các số phức có môđun bằng 1 và các số z_1+z_2z_3,z_2+z_3z_1,z_3+z_1z_2 là các số thực thì z_1z_2z_3=1.

B25. (A-2010) Cho số phức z thỏa mãn \bar{z}=\dfrac{(1-i\sqrt{3})^3}{1-i}. Tìm môđun của số phức \bar{z}+iz.

 

B26. (B-2009) Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn |z-(2+i)|=\sqrt{10}z\bar{z}=25.

B27. Tìm số phức z sao cho |z+1-2i|=|\bar{z}+3+4i|\dfrac{z-2i}{\bar{z}+i} là một số ảo.

B28. Tìm số phức z sao cho |z-i|=\sqrt{2}(z-1)(\bar{z}+i) là một số thực.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s