Bài tập về Góc định hướng


Bài 1. Tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại E, các đường chéo AC,BD cắt nhau tại F. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD,BFC cắt nhau tại điểm thứ hai H. Chứng minh rằng \widehat{EHF}=90^{\circ}.

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn và O là tâm ngoại tiếp của nó. Các đường thẳng CA,CB cắt lại (ABO) tại P,Q tương ứng. Chứng minh rằng CO vuông góc với PQ.

Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp một đường tròn. Gọi P,Q,R,S là giao của các phân giác ngoài của các góc ABDADB, DABDBA, ACDADC, DACDCA tương ứng. Chứng minh rằng P,Q,R,S đồng viên.

Bài 4. Các đường tròn \omega_1,\omega_2,\omega_3 nằm trong mặt phẳng và tiếp xúc ngoài với nhau từng cặp. Gọi P_i là điểm tiếp xúc của \omega_j,\omega_k; với \{i,j,k\}=\{1,2,3\}. Gọi A,B là hai điểm khác P_1,P_2 và nằm trên \omega_3 sao cho AB là đường kính của \omega_3. Đường thẳng AP_1 cắt lại \omega_1 tại X, đường thẳng BP_2 cắt lại \omega_2 tại Y, và các đường thẳng AP_2,BP_1 cắt nhau tại Z. Chứng minh rằng X,Y,Z thẳng hàng.

Bài 5. Các đường tròn S_1,S_2 cắt nhau tại hai điểm M,N. A,D là các điểm nằm trên S_1,S_2 tương ứng sao cho các đường thẳng AM,AN cắt S_2 tại B,C; các đường thẳng DM,DN cắt S_1 tại E,FA,E,F nằm cùng một phía của MND,B,C nằm ở phía kia của MN. Chứng minh rằng có điểm cố định O sao cho với mỗi A,D thỏa mãn điều kiện AB=DE, O cách đều bốn điểm A,F,C,D.

Bài 6. D là điểm nằm trên cạnh AB của tam giác ABC. (BCD) cắt AC tại CM, và (ACD) cắt BC tại CN. Gọi O là tâm của (CMN). Chứng minh rằng OD vuông góc với AB.

Bài 7. Hai đường tròn C_1,C_2 cắt nhau tại hai điểm P,Q. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn gần P hơn Q tiếp xúc với C_1,C_2 tại A,B tương ứng. Tiếp tuyến của C_1 tại P cắt C_2 tại E khác P, và tiếp tuyến với C_2 tại P cắt C_1 tại F khác P. Gọi H,K là hai điểm trên các tia AF,BE tương ứng sao cho AH=AP,BK=BP. Chứng minh 5 điểm A,H,Q,KB đồng viên.

Bài 8. Cho tam giác nhọn không cân ABC, E nằm trên trung tuyến AD của nó. Vẽ EF vuông góc với BC. M là một điểm bất kỳ trên EF, và N,P là hình chiếu của M trên AC,AB tương ứng. Chứng minh rằng phân giác của PMN,PEN song song với nhau.

Bài 9. Đường thẳng l tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác nhọn ABC tại B. Gọi K là hình chiếu của trực tâm của tam giác ABC trên l, và gọi L là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tam giác BKL cân.

Bài 10. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm M,K. Các đường thẳng AB,CD vẽ qua MK tương ứng, chúng cắt đường tròn thứ nhất tại A,C; đường tròn thứ hai tại B,D. Chứng minh rằng AC||BD.

Bài 11. Các điểm A,B,MN nằm trên một đường tròn. Từ điểm M, các dây MA_1,MB_1 được vẽ vuông góc với NB,NA tương ứng. Chứng minh rằng AA_1||BB_1.

Bài 12. Hai đường tròn cắt nhau tại P,Q. Qua điểm A trên đường tròn thứ nhất vẽ các đường thẳng AP,AQ. Các đường thẳng này cắt lại đường tròn thứ hai tại B,C. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A với đường tròn thứ nhất song song với BC.

Bài 13. Các đường tròn S_1,S_2 cắt nhau tại A,P. AB là tiếp tuyến của S_1, đường thẳng CD song song với AB và đi qua P (B,C\in S_2D\in S_1). Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Bài 14. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tồn tại hai họ các tam giác đều sao cho các cạnh (hay phần kéo dài) của chúng đi qua các điểm A,B,C. Chứng minh rằng tâm của các tam giác nằm trong hai họ này nằm trên hai đường tròn đồng tâm.

Bài 15. Hai đường tròn S_1,S_2 có điểm chung A (không cần phải tiếp xúc nhau). Qua A ta vẽ đường thẳng cắt S_1 tại BS_2 tại C. Tại B,C các tiếp tuyến của hai đường tròn được vẽ, gọi D là giao của hai tiếp tuyến này. Chứng minh rằng góc \widehat{BDC} không phụ thuộc vào đường thẳng qua A.

Bài 16. Đường tròn S tiếp xúc với các đường tròn S_1,S_2 tại A_1,A_2 tương ứng, B là một điểm của đường tròn S. K_1,K_2 là các giao điểm khác của các đường thẳng A_1B,A_2B với các đường tròn S_1,S_2 tương ứng. Chứng minh rằng nếu K_1K_2 tiếp xúc với S_1 thì K_1K_2 tiếp xúc với S_2.

Bài 17. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,AC tại các điểm M,N tương ứng. P là giao điểm của đường thẳng MN với phân giác trong (hay phần kéo dài) của tam giác tại đỉnh B. Chứng minh rằng \widehat{BPC}=90^{\circ}S_{ABP}:S_{ABC}=1:2.

Bài 18. Các đường thẳng AP,BP,CP cắt (ABC) tại A_1,B_1,C_1 tương ứng. Trên các đường thẳng BC,CA,AB lấy các điểm A_1,B_2,C_2 tương ứng sao cho (PA_2,BC)=(PB_2,CA)=(PC_2,AB)\pmod{\pi}.

Chứng minh rằng hai tam giác A_2B_2C_2A_1B_1C_1 đồng dạng.

Bài 19. Các cạnh tương ứng của các tam giác ABCA_1B_1C_1 song song với nhau và các cạnh AB,A_1B_1 nằm trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng đường thẳng nối các giao điểm của hai đường tròn (A_1BC)(AB_1C) chứa điểm C_1.

Bài 20. Tam giác ABC có các đường cao AA_1,BB_1CC_1. Đường thẳng KL song song với CC_1 sao cho K,L nằm trên BC,B_1C_1 tương ứng. Chứng minh rằng tâm của A_1KL nằm trên AC.

Bài 21. Tam giác ABC có đường cao AH. Từ các đỉnh B,C vẽ các đường vuông góc BB_1,CC_1 xuống một đường thẳng qua A. Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HB_1C_1.

Bài 22. Ngũ giác ABCDE nội tiếp một đường tròn. Khoảng cách từ E đến AB,BC,CD bằng a,b,c tương ứng. Tính khoảng cách từ E đến AD.

Bài 23. Tam giác ABC có các đường cao AA_1,BB_1CC_1. B_2,C_2 là các trung điểm của BB_1,CC_1 tương ứng. Chứng minh rằng tam giác A_1B_2C_2 đồng dạng với tam giác ABC.

Bài 24. Trên cạnh AB của tứ giác lồi ABCD một điểm E được lấy, khác hai đầu mút. Các đoạn ACDE cắt nhau tại F. Chứng minh rằng ba đường tròn (ABC), (CDF)(BDE) có ít nhất một điểm chung.

Bài 25. Trên các đường cao của tam giác ABC các điểm A_1,B_1,C_1 được lấy sao cho chúng chia các đường cao theo tỉ lệ 2:1 tính từ đỉnh. Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác A_1B_1C_1.

Bài 26. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm P, các đường thẳng PM,PN song song với AC,BC tương ứng sao cho M,N nằm trên BC,CA tương ứng. Gọi Q là giao điểm thứ hai của các đường tròn (APN),(BPM). Chứng minh rằng PQ đi qua một điểm cố định.

Bài 27. a) Trên các cạnh (hay trên phần kéo dài) BC,CA,AB của tam giác ABC ta lấy các diểm A_1,B_1,C_1 tương ứng. Chứng minh rằng ba đường tròn (AB_1C_1),(A_1BC_1),(A_1B_1C) có điểm chung;

b) Các điểm A_1,B_1,C_1 di động sao cho các tam giác A_1B_1C_1 đồng dạng và cùng hướng. Chứng minh rằng giao điểm nói ở a) là một điểm cố định.

Bài 28. Trên các cạnh (hay trên phần kéo dài) BC,CA,AB của tam giác ABC ta lấy các diểm A_1,B_1,C_1 tương ứng. Chứng minh rằng nếu hai tam giác ABC,A_1B_1C_1 là đồng dạng nghịch thì ba đường tròn (AB_1C_1),(A_1BC_1),(A_1B_1C) đi qua tâm của (ABC).

Bài 29. Các điểm A',B',C' đối xứng với điểm P qua các cạnh BC,CA,AB tương ứng.

a) Chứng minh rằng các đường tròn (AB'C'),(BC'A'),(CA'B')(ABC) có điểm chung;

b) Chứng minh rằng các đường tròn (A'BC),(B'CA),(C'AB)(A'B'C') có điểm chung Q;

c) Gọi I,J,K,O là tâm của các đường tròn (A'BC),(B'CA),(C'AB),(A'B'C'). Chứng minh rằng QI:OI=QJ:OJ=QK:OK.

Bài 30. Bốn đường thẳng tạo thành bốn tam giác. Chứng minh rằng

a) Bốn đường tròn ngoại tiếp các tam giác này có điểm chung, gọi là điểm Michel;

b) Tâm của bốn đường tròn trên nằm trên một đường tròn đi qua điểm Michel.

Bài 31. Một đường thẳng cắt các cạnh (hay phần kéo dài) BC,CA,AB của tam giác ABC tại A_1,B_1,C_1 tương ứng. Gọi tâm của các đường tròn (ABC),(AB_1C_1),(BC_1A_1),(CA_1B_1)O,O_a,O_b,O_c tương ứng. Gọi H,H_a,H_b,H_c tương ứng là trực tâm của các tam giác ABC,AB_1C_1,BC_1A_1,CA_1B_1. Chứng minh rằng

a) \Delta O_aO_bO_c\thicksim\Delta ABC;

b) Đường trung trực của các đoạn OH,O_aH_a,O_bH_b,O_cH_c đồng quy.

Bài 32. Các điểm A,B,C,D nằm trên một đường tròn tâm O. Các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại E và các đường tròn (AEC),(BED) cắt nhau tại điểm thứ hai P. Chứng minh rằng

a) A,D,P,O đồng viên;

b) \widehat{EPO}=90^{\circ}.

Bài 33. Qua các đỉnh A,B của tam giác ABC vẽ hai đường thẳng song song. Gọi m,n là hai đường thẳng đối xứng với chúng qua các phân giác của các góc tương ứng. Chứng minh rằng giao của mn nằm trên (ABC).

Bài 34. Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các hình vuông ACA_1A_2,BCB_1B_2. Chứng minh rằng các đường thẳng A_1B,A_2B_2,AB_1 đồng quy.

Bài 35. Từ tâm O của một đường tròn ta vẽ OA vuông góc với một đường thẳng l. Trên l ta lấy các điểm B,C sao cho AB=AC. Một đường thẳng qua B cắt đường tròn tại P,Q. Một đường thẳng qua C cắt đường tròn tại M,N. Giả sử PM,QN cắt l tại R,S tương ứng. Chứng minh rằng AR=AS.

Bài 35. Bên ngoài tam giác ABC ta dựng các tam giác  ABC',BCA',CAB' sao cho tổng các góc tại các đỉnh A',B',C' là một bội của \pi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đó có điểm chung.

Bài 36. Chứng minh rằng giao điểm của các cặp cạnh đối của một lục giác nội tiếp nằm trên một đường thẳng. (Định lý Pascal)

8 thoughts on “Bài tập về Góc định hướng”

  1. Thầy cho e hỏi những bài tập này có đáp án không ạ. E đang cần làm về đề tài góc định hướng thầy có thể giúp e được không ạ

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s