Các phép toán trên tập các số phức


Để làm được các bài tập thuộc dạng này các em chỉ cần nhớ là i^2=-1.

A1. Với mỗi số nguyên dương n, hãy tính i^n. Từ đó tính giá trị của biểu thức A=i^{105}+i^{23}+i^{20}-i^{34}.

A2. Tìm các số phức z thỏa mãn z^3=18+26i và phần thực, phần ảo của nó là các số nguyên.

Đáp số: 3+i.

A3. Tính \dfrac{5+5i}{3-4i}+\dfrac{20}{4+3i}.

Đáp số: 3-i.

A4. Chứng minh rằng z_1\cdot\bar{z_2}+\bar{z_1}\cdot z_2\in\mathbb{R}\,\,\forall z_1,z_2\in\mathbb{C}.

A5. Các điểm (1;2),(-2;3),(1;-1) biểu diễn các số phức z_1,z_2,z_3 tương ứng. Tính

a) z_1+z_2+z_3;

b) z_1z_2+z_2z_3;

c) z_1z_2z_3;

d) z_1^2+z_2^2+z_3^2;

e) \dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1};

f) \dfrac{z_1^2+z_2^2}{z_2^2+z_3^2}.

A6. Tìm các số thực x,y trong mỗi trường hợp sau

a) (1-2i)x+(1+2i)y=1+i;

b) \dfrac{x-3}{3+i}+\dfrac{y-3}{3-i}=i;

c) (4-3i)x^2+(3+2i)xy=4y^2-\dfrac{x^2}{2}+(3xy-2y^2)i.

A7. Tính (1-i)^n với n là một số nguyên dương.

A8. Tính

a) (2-i)(-3+2i)(5-4i);

b) (2-4i)(5+2i)+(3+4i)(-6-i);

c) \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{16}+\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^{8};

d) \dfrac{3+7i}{2+3i}+\dfrac{5-8i}{2-3i}.

A9. Tính

a) i^{2000}+i^{1999}+i^{201}+i^{82}+i^{47};

b) 1+i+i^2+\cdots +i^n, với $n$ là một số nguyên dương cho trước;

c) i^1\cdot i^2\cdot i^3\cdots i^{2000};

d) i^{-5}+(-i)^{-7}+(-i)^{13}+i^{-100}+(-i)^{94}.

A10. Tìm tất cả các số phức z sao cho z+\dfrac{1}{z}\in\mathbb{R}.

Đáp số: z\in\mathbb{R},z\not =0 hoặc z=x+yi với x^2+y^2=1.

A11. Chứng minh rằng

a) (2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7\in\mathbb{R};

b) \left(\dfrac{19+7i}{9-i}\right)^n+\left(\dfrac{20+5i}{7+6i}\right)^n\in\mathbb{R}\,\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

A12. Cho a,b,c là các số thực và \omega =-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i. Tính

(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega).

Đáp số: a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca.

A13. Tìm các số phức z sao cho (z-2)(\bar{z}+i)\in\mathbb{R}.

A14. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

\left(\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^n+\left(\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)^n=2.

A15. Tìm x,y\in\mathbb{R} thỏa mãn x(1-3i)^2+(x+2y)(1+2i)^3=25-4i.

A16. Tìm x,y\in\mathbb{R} thỏa mãn x(3+5i)+y(1-2i)^3=9+14i.

A17. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \dfrac{(1+i^3)^2(2-i)^{10}}{4-5i}.

A18. (A-2010) Tìm phần ảo của z nếu \bar{z}=(\sqrt{2}+i)^2(1-\sqrt{2}i).

Đáp số: -\sqrt{2}.

A19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z nếu

(1+i)^2(2-i)z=8+i+(1+2i)z.

A20. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

z=1+2i+3i^2+4i^3+\cdots+2009i^{2008}.

Đáp số: 1005,-1004.

A21. Tìm các số phức z sao cho \bar{z}=\dfrac{(\sqrt{2}-i)^3}{1+\sqrt{2}i}.

A22. Tính tổng i+2i^2+3i^3+\cdots+2011i^{2011}.

1 thought on “Các phép toán trên tập các số phức”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s