Đề chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2011, Ngày 1


Thời gian làm bài 240 phút


Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ có một con cào cào ở điểm (1;1). Nó có thể nhảy từ A sang B khi tam giác OAB có diện tích bằng \dfrac{1}{2}.
1/. Tìm các điểm (m,n) sao cho con cào cào có thể nhảy đến đó sau hữu hạn bước
2/. Chứng minh rằng con cào cào có thể nhảy đến (m,n) kể trên sau ít hơn |m-n| bước
(m,n nguyên dương)

Bài 2. Cho (O )A nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB,AC tới (O). P thuộc tia đối  của tia BA,Q thuộc tia đối của tia CA sao cho PQ tiếp xúc với (O). Qua P kẻ đường thằng song song với AC, cắt BC tại E. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F.
1/. Chứng minh rằng QE,PF đi qua điểm cố định  lần lượt là M,N;
2/. Chứng minh rằng tích PM.QN không đổi.

Bài 3. Cho n\geq 3,n\in\mathbb{N}n số thực x_1,x_2,\ldots,x_n  thỏa mãn
1/.   x_1+x_2+\ldots+x_n=0;
2/.   x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=n(n-1);
3/.  x_1\geq x_2\geq x_2\geq \ldots \geq x_n.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f=x_1+x_2.

1 thought on “Đề chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2011, Ngày 1”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s