Bài 1. (A-2010) Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
;
là giao điểm của
. Biết
vuông góc với
và
. Tính thể tích
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
theo
.
Đáp số:
Bài 2. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều có
, góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
theo
.
Đáp số:
Bài 3. (D-2010) Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
, cạnh bên
; hình chiếu vuông góc của
trên
là điểm
thuộc đoạn
sao cho
. Gọi
là đường cao của tam giác
. Chứng minh rằng
là trung điểm của
và tính thể tích khối tứ diện
theo
.
Đáp số: .
Bài 4. (A-2009) Cho hình chóp có đáy
là hình thang vuông tại
góc giữa hai mặt phẳng
bằng
. Gọi
là trung điểm của
. Biết hai mặt phẳng
cùng vuông góc với
, tính thể tích khối chóp
theo
Đáp số:
Bài 5. (B-2009) Cho hình lăng trụ tam giác có
, góc giữa đường thẳng
và
bằng
; tam giác
vuông tại
và
. Hình chiếu vuông góc của
lên
trùng với trọng tâm của
. Tính thể tích của khối tứ diện
theo
.
Đáp số:
Bài 6. (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng có đáy
là tam giác vuông tại
. Gọi
là trung điểm của
, $I$ là giao của
. Tính theo
thể tích của khối tứ diện
và khoảng cách từ
đến
Đáp số:
Bài 7. (A-2008) Cho lăng trụ có độ dài cạnh bên bằng
, đáy
là tam giác vuông tại
và hình chiếu vuông góc của
trên
là trung điểm của
. Tính theo
thể tích của khối chóp
và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
.
Đáp số: .
Bài 8. (B-2008) Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
.
và
vuông góc với đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tính theo
thể tích của khối chóp
và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
.
Đáp số: .
Bài 9. (D-2008) Cho lăng trụ đứng có đáy
là tam giác vuông,
. Gọi
là trung điểm của
. Tính theo
thể tích của khối lăng trụ
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
.
Đáp số: .
Bài 10. (A-2007) Cho hình chóp có đáy là hình vuông
cạnh
, mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Chứng minh
vuông góc với
và tính thể tích của khối tứ diện
.
Đáp số:
Bài 11. (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh
. Gọi
là điểm đối xứng của
qua trung điểm của
,
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Chứng minh rằng
vuông góc với
và tính theo
khoảng cách giữa hai đường thẳng
.
Đáp số:
Bài 12. (D-2007) Cho hình chóp có đáy là hình thang,
,
. Cạnh bên
vuông góc với đáy và
. Gọi
là hình chiếu của
trên
. Chứng minh
vuông và tính theo
khoảng cách từ
đến
.
Đáp số:
Bài 13. (A-2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
. Trên đường tròn đáy tâm
lấy điểm
, trên đường tròn đáy tâm
lấy
sao cho
. Tính theo
thể tích của khối tứ diện
.
Đáp số:
Bài 14. (B-2006) Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật với
và
vuông góc với
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
;
là giao điểm của
. Chứng minh rằng mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Tính thể tích của khối tứ diện
theo
.
Đáp số:
Bài 15. (D-2006) Cho hình chóp có đáy
là tam giác đều cạnh
và
vuông góc với
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
trên
. Tính theo
thể tích của khối chóp
.
Đáp số: .
Bài 16. (B-2003) Cho lăng trụ đứng có đáy
là hình thoi cạnh
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Chứng minh bốn điểm
đồng phẳng. Tính
theo
để
là hình vuông.
Đáp số:
Bài 17. (D-2003) Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
. Trên
lấy
để
. Trong
lấy
trong
lấy
sao cho
vuông góc với
và
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
và tính khoảng cách từ
đến
theo
.
Đáp số:
Bài 18. (A-2002) Cho hình chóp tam giác đều đỉnh
, có độ dài cạnh đáy bằng
. Gọi
lần lượt là các trung điểm của các cạnh
. Tính theo
diện tích tam giác
, biết
vuông góc với
.
Đáp số: .
Bài 19. (B-2002) Cho hình lập phương có cạnh
.
a) Tính theo khoảng cách giữa
và
;
b) Gọi lần lượt là trung điểm của
. Tính góc giữa hai đường thẳng
.
Đáp số:
Bài 20. (D-2002) Cho tứ diện có
vuông góc với
;
. Tính khoảng cách từ
đến
.
Đáp số: