Bài toán Hình học không gian trong đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2010


Bài 1. (A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD; H là giao điểm của CN,DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH=a\sqrt{3}. Tính thể tích S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Đáp số: \dfrac{5\sqrt{3}a^3}{24}, \dfrac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}.

Bài 2. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60^{\circ}. Gọi G là trọng tâm của tam giác A'BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Đáp số: \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{8},\dfrac{7a}{12}.

Bài 3. (D-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a; hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH=\dfrac{AC}{4}. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

Đáp số: \dfrac{a^3\sqrt{14}}{48}.

Bài 4. (A-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a;CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC),(ABCD) bằng 60^{\circ}. Gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI),(SCI) cùng vuông góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Đáp số: \dfrac{3\sqrt{15}a^3}{5}.

Bài 5. (B-2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60^{\circ}; tam giác ABC vuông tại C và \widehat{BAC}=60^{\circ}. Hình chiếu vuông góc của B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của \Delta ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A'ABC theo a.

Đáp số: \dfrac{9a^3}{208}.

Bài 6. (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AB=a,AA'=2a,A'C=3a. Gọi M là trung điểm của A'C', $I$ là giao của AM,A'C. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến (IBC).

Đáp số: \dfrac{4}{9}a^3,\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.

Bài 7. (A-2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,AC=a\sqrt{3} và hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA',B'C'.

Đáp số: \dfrac{a^3}{2},\dfrac{1}{4}.

Bài 8. (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. SA=a,SB=a\sqrt{3} và (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM,DN.

Đáp số: \dfrac{a^3\sqrt{3}}{3},\dfrac{1}{\sqrt{5}}.

Bài 9. (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2}. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B'C.

Đáp số: \dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3,\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.

Bài 10. (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Đáp số: \dfrac{a^3\sqrt{3}}{96}.


Bài 11. (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN,AC.

Đáp số: \dfrac{a\sqrt{2}}{4}.

Bài 12. (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, \widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90^{\circ}, BA=BC=a,AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a\sqrt{2}. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh \Delta SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD).

Đáp số: \dfrac{a}{3}.

Bài 13. (A-2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O,O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy B sao cho AB=2a. Tính theo a thể tích của khối tứ diện OO'AB.

Đáp số: \dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}.

Bài 14. (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,AD=a\sqrt{2},SA=a và SA vuông góc với (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,SC; I là giao điểm của BM,AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB theo a.

Đáp số: \dfrac{a^3\sqrt{2}}{36}.

Bài 15. (D-2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,SA=2a và SA vuông góc với (ABC). Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC. Tính theo a thể tích của khối chóp A.BCNM.

Đáp số: \dfrac{3\sqrt{3}a^3}{50}.

Bài 16. (B-2003) Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \widehat{BAD}=60^{\circ}. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA',CC'. Chứng minh bốn điểm B',M,D,N đồng phẳng. Tính AA' theo a để B'MDN là hình vuông.

Đáp số: a\sqrt{2}.

Bài 17. (D-2003) Cho hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng \Delta. Trên \Delta lấy A,B để AB=a. Trong (P) lấy C, trong (Q) lấy D sao cho AC,BD vuông góc với \Delta và AC=BD=AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến (BCD) theo a.

Đáp số: \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.

Bài 18. (A-2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB,SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).

Đáp số: \dfrac{a^2\sqrt{10}}{16}.

Bài 19. (B-2002) Cho hình lập phương ABCD.A_1B_1C_1D_1 có cạnh a.

a) Tính theo a khoảng cách giữa A_1B và B_1D;

b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của B_1B,CD,A_1D_1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP,C_1N.

Đáp số: \dfrac{a}{\sqrt{6}},90^{\circ}.

Bài 20. (D-2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC); AC=AD=4cm,AB=3cm,BC=5cm. Tính khoảng cách từ A đến (BCD).

Đáp số: \dfrac{6\sqrt{34}}{17}cm.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s