Bài toán Hình học không gian trong đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2010

Bài 1. (A-2010) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$ ; $H$ là giao điểm của $CN,DM$ . Biết $SH$ vuông góc với $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$ . Tính thể tích $S.CDNM$ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $SC$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{5\sqrt{3}a^3}{24}, \dfrac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}.$

Bài 2. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=a$ , góc giữa hai mặt phẳng $(A'BC)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ}$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A'BC$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $GABC$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{3a^3\sqrt{3}}{8},\dfrac{7a}{12}.$

Bài 3. (D-2010) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA=a$ ; hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn $AC$ sao cho $AH=\dfrac{AC}{4}$ . Gọi $CM$ là đường cao của tam giác $SAC$ . Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $SA$ và tính thể tích khối tứ diện $SMBC$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3\sqrt{14}}{48}$ .

Bài 4. (A-2009) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D; AB=AD=2a;CD=a;$ góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(ABCD)$ bằng $60^{\circ}$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ . Biết hai mặt phẳng $(SBI),(SCI)$ cùng vuông góc với $(ABCD)$ , tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a.$

Đáp số: $\dfrac{3\sqrt{15}a^3}{5}.$

Bài 5. (B-2009) Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $BB'=a$ , góc giữa đường thẳng $BB'$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ}$ ; tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ . Hình chiếu vuông góc của $B'$ lên $(ABC)$ trùng với trọng tâm của $\Delta ABC$ . Tính thể tích của khối tứ diện $A'ABC$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{9a^3}{208}.$

Bài 6. (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AB=a,AA'=2a,A'C=3a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $A'C'$ , $I$ là giao của $AM,A'C$ . Tính theo $a$ thể tích của khối tứ diện $IABC$ và khoảng cách từ $A$ đến $(IBC).$

Đáp số: $\dfrac{4}{9}a^3,\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$

Bài 7. (A-2008) Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB=a,AC=a\sqrt{3}$ và hình chiếu vuông góc của $A'$ trên $(ABC)$ là trung điểm của $BC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $A'.ABC$ và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $AA',B'C'$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3}{2},\dfrac{1}{4}$ .

Bài 8. (B-2008) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ . $SA=a,SB=a\sqrt{3}$ và $(SAB)$ vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.BMDN$ và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $SM,DN$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3},\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ .

Bài 9. (D-2008) Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM,B'C$ .

Đáp số: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3,\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$ .

Bài 10. (A-2007) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ , mặt bên $SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,BC,CD$ . Chứng minh $AM$ vuông góc với $BP$ và tính thể tích của khối tứ diện $CMNP$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{96}.$

Bài 11. (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ . Gọi $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua trung điểm của $SA$ , $M$ là trung điểm của $AE$ , $N$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $BD$ và tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN,AC$ .

Đáp số: $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$

Bài 12. (D-2007) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90^{\circ}$ , $BA=BC=a,AD=2a$ . Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$ . Chứng minh $\Delta SCD$ vuông và tính theo $a$ khoảng cách từ $H$ đến $(SCD)$ .

Đáp số: $\dfrac{a}{3}.$

Bài 13. (A-2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm $O,O'$ , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng $a$ . Trên đường tròn đáy tâm $O$ lấy điểm $A$ , trên đường tròn đáy tâm $O'$ lấy $B$ sao cho $AB=2a$ . Tính theo $a$ thể tích của khối tứ diện $OO'AB$ .

Đáp số: $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}.$

Bài 14. (B-2006) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,AD=a\sqrt{2},SA=a$ và $SA$ vuông góc với $(ABCD)$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,SC$ ; $I$ là giao điểm của $BM,AC$ . Chứng minh rằng mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $(SMB)$ . Tính thể tích của khối tứ diện $ANIB$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{36}.$

Bài 15. (D-2006) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,SA=2a$ và $SA$ vuông góc với $(ABC)$ . Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,SC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $A.BCNM$ .

Đáp số: $\dfrac{3\sqrt{3}a^3}{50}$ .

Bài 16. (B-2003) Cho lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{BAD}=60^{\circ}$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AA',CC'$ . Chứng minh bốn điểm $B',M,D,N$ đồng phẳng. Tính $AA'$ theo $a$ để $B'MDN$ là hình vuông.

Đáp số: $a\sqrt{2}.$

Bài 17. (D-2003) Cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng $\Delta$ . Trên $\Delta$ lấy $A,B$ để $AB=a$ . Trong $(P)$ lấy $C,$ trong $(Q)$ lấy $D$ sao cho $AC,BD$ vuông góc với $\Delta$ và $AC=BD=AB$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ và tính khoảng cách từ $A$ đến $(BCD)$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{a\sqrt{3}}{2},\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$

Bài 18. (A-2002) Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ đỉnh $S$ , có độ dài cạnh đáy bằng $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là các trung điểm của các cạnh $SB,SC$ . Tính theo $a$ diện tích tam giác $AMN$ , biết $(AMN)$ vuông góc với $(SBC)$ .

Đáp số: $\dfrac{a^2\sqrt{10}}{16}$ .

Bài 19. (B-2002) Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có cạnh $a$ .

a) Tính theo $a$ khoảng cách giữa $A_1B$ và $B_1D$ ;

b) Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $B_1B,CD,A_1D_1$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $MP,C_1N$ .

Đáp số: $\dfrac{a}{\sqrt{6}},90^{\circ}.$

Bài 20. (D-2002) Cho tứ diện $ABCD$ có $AD$ vuông góc với $(ABC)$ ; $AC=AD=4cm,AB=3cm,BC=5cm$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến $(BCD)$ .

Đáp số: $\dfrac{6\sqrt{34}}{17}cm.$

	Nguyen Trung Tuan on Đề thi chọn HSG Quốc gia của M…
	Cao Yến Anh on Đề thi chọn HSG Quốc gia của M…
	Cao Yến Anh on Đề thi chọn HSG Quốc gia của N…
	Nguyen Trung Tuan on VMO 2019 Online
	Đào Trọng Toàn on VMO 2019 Online
	Hà Minh Hiếu on VMO 2019 Online
	Chiến Thang on IMO 2018 training (1)
	Duy on VMO 2019 Online
	Phan Nhật Huy on VMO 2019 Online
	Rena on VMO 2019 Online

April 2011
M	T	W	T	F	S	S
« Mar				May »
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Share this:

Like this:

Related

Leave a Reply Cancel reply