Bài toán Hình học không gian trong đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2010

Bài 1. (A-2010) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$ ; $H$ là giao điểm của $CN,DM$ . Biết $SH$ vuông góc với $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$ . Tính thể tích $S.CDNM$ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $SC$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{5\sqrt{3}a^3}{24}, \dfrac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}.$

Bài 2. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=a$ , góc giữa hai mặt phẳng $(A'BC)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ}$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A'BC$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $GABC$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{3a^3\sqrt{3}}{8},\dfrac{7a}{12}.$

Bài 3. (D-2010) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA=a$ ; hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn $AC$ sao cho $AH=\dfrac{AC}{4}$ . Gọi $CM$ là đường cao của tam giác $SAC$ . Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $SA$ và tính thể tích khối tứ diện $SMBC$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3\sqrt{14}}{48}$ .

Bài 4. (A-2009) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D; AB=AD=2a;CD=a;$ góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(ABCD)$ bằng $60^{\circ}$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ . Biết hai mặt phẳng $(SBI),(SCI)$ cùng vuông góc với $(ABCD)$ , tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a.$

Đáp số: $\dfrac{3\sqrt{15}a^3}{5}.$

Bài 5. (B-2009) Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $BB'=a$ , góc giữa đường thẳng $BB'$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ}$ ; tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ . Hình chiếu vuông góc của $B'$ lên $(ABC)$ trùng với trọng tâm của $\Delta ABC$ . Tính thể tích của khối tứ diện $A'ABC$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{9a^3}{208}.$

Bài 6. (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AB=a,AA'=2a,A'C=3a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $A'C'$ , $I$ là giao của $AM,A'C$ . Tính theo $a$ thể tích của khối tứ diện $IABC$ và khoảng cách từ $A$ đến $(IBC).$

Đáp số: $\dfrac{4}{9}a^3,\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$

Bài 7. (A-2008) Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB=a,AC=a\sqrt{3}$ và hình chiếu vuông góc của $A'$ trên $(ABC)$ là trung điểm của $BC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $A'.ABC$ và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $AA',B'C'$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3}{2},\dfrac{1}{4}$ .

Bài 8. (B-2008) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ . $SA=a,SB=a\sqrt{3}$ và $(SAB)$ vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.BMDN$ và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $SM,DN$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3},\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ .

Bài 9. (D-2008) Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM,B'C$ .

Đáp số: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3,\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$ .

Bài 10. (A-2007) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ , mặt bên $SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,BC,CD$ . Chứng minh $AM$ vuông góc với $BP$ và tính thể tích của khối tứ diện $CMNP$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{96}.$

Bài 11. (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ . Gọi $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua trung điểm của $SA$ , $M$ là trung điểm của $AE$ , $N$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $BD$ và tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN,AC$ .

Đáp số: $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$

Bài 12. (D-2007) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90^{\circ}$ , $BA=BC=a,AD=2a$ . Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$ . Chứng minh $\Delta SCD$ vuông và tính theo $a$ khoảng cách từ $H$ đến $(SCD)$ .

Đáp số: $\dfrac{a}{3}.$

Bài 13. (A-2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm $O,O'$ , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng $a$ . Trên đường tròn đáy tâm $O$ lấy điểm $A$ , trên đường tròn đáy tâm $O'$ lấy $B$ sao cho $AB=2a$ . Tính theo $a$ thể tích của khối tứ diện $OO'AB$ .

Đáp số: $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}.$

Bài 14. (B-2006) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,AD=a\sqrt{2},SA=a$ và $SA$ vuông góc với $(ABCD)$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,SC$ ; $I$ là giao điểm của $BM,AC$ . Chứng minh rằng mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $(SMB)$ . Tính thể tích của khối tứ diện $ANIB$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{36}.$

Bài 15. (D-2006) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,SA=2a$ và $SA$ vuông góc với $(ABC)$ . Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,SC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $A.BCNM$ .

Đáp số: $\dfrac{3\sqrt{3}a^3}{50}$ .

Bài 16. (B-2003) Cho lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{BAD}=60^{\circ}$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AA',CC'$ . Chứng minh bốn điểm $B',M,D,N$ đồng phẳng. Tính $AA'$ theo $a$ để $B'MDN$ là hình vuông.

Đáp số: $a\sqrt{2}.$

Bài 17. (D-2003) Cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng $\Delta$ . Trên $\Delta$ lấy $A,B$ để $AB=a$ . Trong $(P)$ lấy $C,$ trong $(Q)$ lấy $D$ sao cho $AC,BD$ vuông góc với $\Delta$ và $AC=BD=AB$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ và tính khoảng cách từ $A$ đến $(BCD)$ theo $a$ .

Đáp số: $\dfrac{a\sqrt{3}}{2},\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$

Bài 18. (A-2002) Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ đỉnh $S$ , có độ dài cạnh đáy bằng $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là các trung điểm của các cạnh $SB,SC$ . Tính theo $a$ diện tích tam giác $AMN$ , biết $(AMN)$ vuông góc với $(SBC)$ .

Đáp số: $\dfrac{a^2\sqrt{10}}{16}$ .

Bài 19. (B-2002) Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có cạnh $a$ .

a) Tính theo $a$ khoảng cách giữa $A_1B$ và $B_1D$ ;

b) Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $B_1B,CD,A_1D_1$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $MP,C_1N$ .

Đáp số: $\dfrac{a}{\sqrt{6}},90^{\circ}.$

Bài 20. (D-2002) Cho tứ diện $ABCD$ có $AD$ vuông góc với $(ABC)$ ; $AC=AD=4cm,AB=3cm,BC=5cm$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến $(BCD)$ .

Đáp số: $\dfrac{6\sqrt{34}}{17}cm.$

	Nguyen Trung Tuan on Một số sách nên đọc đối với họ…
	Nam on Một số sách nên đọc đối với họ…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Comb…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Number…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Number…
	Khánh Huyền on IMO 2017 – Day 2
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist –…
	IMO 2017 – Day… on IMO 2017 – Day 1

April 2011
M	T	W	T	F	S	S
« Mar				May »
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Share this:

Like this:

Related

Leave a Reply Cancel reply