Trung bình cộng – trung bình nhân


AM-GM. Nếu a_1,a_2,\cdots,a_n\,\,\, (n>1) là các số thực không âm thì

\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a_1=a_2=\cdots=a_n.

Chứng minh của AM-GM. Quy nạp kiểu Cauchy.
1. Các ví dụ  mở đầu
Bài 1. Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dương lớn hơn 1a_1,a_2,\cdots,a_n là các số thực dương thì

\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)\geq n^2.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số thực dương x ta có x+\dfrac{1}{x}\geq 2.
Bài 3. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương x,y,z ta có
xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy},

(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz.
Bài 4. Chứng minh rằng nếu a,b,cd là các số thực dương thì
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}\geq 4.
Bài 5. Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi nhưng thỏa mãn
ab+bc+ca=1.
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}};
b) \dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}
Bài 6. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\geq 3\sqrt{3}.
2. Các ví dụ quan trọng
Bài 1. Cho x là một số thực dương thay đổi nhưng nằm trong [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số
a) f(x)=x^2(1-x);
b) g(x)=x(1-x)^2;
c) h(x)=x^m(1-x)^n, với mn là các số nguyên dương cho trước.
Bài 2. Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện
a+b+c=3.
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a};
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a^5+b^5+c^5;
c) Chứng minh rằng a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2;
d) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n>2 ta có
a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}\geq a^n+b^n+c^n.
Bài 3. Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a^2+b^2+c^2.
Bài 4. Cho a_i,b_j2n số thực dương thỏa mãn
a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n.
Chứng minh rằng
\dfrac{a_1^2}{a_1+b_1}+\dfrac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{a_n+b_n}\geq\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{2}.
Bài 5. Chứng minh rằng với mỗi $2n$ số thực dương a_i,b_j ta có
\sqrt[n]{(a_1+b_1)(a_2+b_2)\cdots (a_n+b_n)}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}+\sqrt[n]{b_1b_2\cdots b_n}.
Bài 6. Cho a\geq 3. Chứng minh rằng a+\dfrac{1}{a}\geq\dfrac{10}{3}.
Bài 7. Cho a\geq 2. Chứng minh rằng a+\dfrac{1}{a^2}\geq\dfrac{9}{4}.
Bài 8. Cho a\geq 6. Chứng minh rằng a^2+\dfrac{18}{\sqrt{a}}\geq 36+3\sqrt{6}.
Bài 9. Cho các số thực dương thỏa mãn x+y\geq 4. Chứng minh rằng
2x+3y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{10}{y}\geq 18.
Bài 10. Các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng
\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3}{2}.
Bài 11. Giả sử x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng
10x^2+10y^2+z^2\geq 4.
Bài 12. Giả sử x,y,z là các số thực dương có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x^2+y^2+z^3.
Bài 13. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c>0 ta có
a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a.

Continue reading “Trung bình cộng – trung bình nhân”