Nguyên lý bù-trừ 2


Bài viết xem như sự mở đầu của phương pháp SÀNG trong các bài toán đếm. Ở phương pháp này, khi muốn đếm số phần tử của một tập A, ta bắt đầu với một tập B chứa A, sau đó tìm cách loại đi các phần tử không nằm trong A.

Chúng ta biết rằng nếu AB là các tập hữu hạn rời nhau thì |A\cup B|=|A|+|B|, tổng quát hơn ta có: Nếu AB là các tập hữu hạn bất kỳ(không nhất thiết rời nhau) thì  |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|, đây chính là nguyên lý bù-trừ cho hai tập hợp, dễ hiểu tại sao người ta lại gọi đây là nguyên lý bù trừ. Với n>1 tập hợp ta có định lý sau

Định lý. Nếu A_1,A_2,\cdots,A_n là các tập hữu hạn thì

|\cup_{i=1}^nA_i|=\sum_{1\leq i\leq n}|A_i|-\sum_{1\leq i<j\leq n}|A_i\cap A_j|+\cdots+(-1)^{n+1}|\cap_{1\leq i\leq n}A_i|.

Ta sẽ chứng minh rằng rằng mỗi phần tử trong \cup_{i=1}^nA_i được đếm đúng một lần trong vế phải. Gọi x là một phần tử trong hợp đó và nó nằm trong dúng m tập A_i, khi đó trong vế phải nó sẽ được đếm đúng C_m^1-C_m^2+\cdots+(-1)^{m+1}C_m^m=1

lần (lưu ý (1-1)^m=0). Định lý được chứng minh.

Ngoài cách chứng minh trên các bạn có thể chứng minh Định lý bằng phương pháp quy nạp toán học, tôi chọn giới thiệu cách chứng minh đó vì phong cách Tổ hợp của nó.

Một áp dụng đẹp của nguyên lý bù-trừ là bài toán Bernoulli-Euler về các bức thư sai địa chỉ: Có n>1 bức thư khác nhau phải gửi đến n địa chỉ khác nhau. Có bao nhiêu cách gửi mà các bức thư đều đến không đúng địa chỉ của mình? Theo ngôn ngữ ánh xạ, bài toán được phát biểu như sau: Có bao nhiêu song ánh từ S=\{1,2,\cdots,n\} đến chính S sao cho nó không có điểm cố định? Ta đếm số các song ánh có điểm cố định, số này bằng C_n=|\cup_{1\leq i\leq n}A_i|, ở đây A_i là tập các song ánh nhận i làm điểm cố định. Theo nguyên lý bù-trừ dễ có C_n=\sum_{k=1}^nC_n^k(-1)^{k+1}(n-k)! và đáp số của bài toán là D_n=n!-C_n.

Continue reading “Nguyên lý bù-trừ 2”