Các tính chất đại số của hệ số nhị thức


Bài 5.1. Cho n là một số nguyên dương. Tìm số hạng lớn nhất của dãy \{C_n^k\}_{k=0}^n.

Bài 5.2. Chứng minh rằng nếu n,k là các số nguyên dương sao cho n>1 thì

a)kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1};

b)kC_n^k=(n-k+1)C_n^{k-1}.

Bài 5.3. Chứng minh rằng nếu n,k là các số nguyên dương thì

a)C_n^0+C_{n+1}^1+C_{n+2}^2+\cdots+C_{n+k}^k=C_{n+k+1}^k;

b)C_n^n+C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+\cdots+C_{n+k}^n=C_{n+k+1}^{n+1}.

Bài 5.4. Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dương thì

a)C_n^0+C_n^1+\cdots + C_n^n=2^n;

b)C_n^0-C_n^1+\cdots+(-1)^nC_n^n=0;

Bài 5.5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có

C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+nC_n^n=n2^{n-1}.

Bài 5.6. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có

\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\cdot C_n^k=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}.

Hướng dẫn. Đặt S_n là vế trái, hãy chứng minh S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{n+1}\Box.

Bài 5.7. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có

\sum_{k=0}^nC_{n-k+1}^k=F_{n+1},

ở đây (F_k) là dãy Fibonacci xác định bởi F_0=F_1=1

F_{k+2}=F_{k+1}+F_k

với mỗi k=0,1,\cdots.

Hướng dẫn. Dùng ý tưởng như bài trên \Box.

Bài 5.8. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng

\sum_{i=0}^n\dfrac{1}{C_n^i}=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{2^i}{i}.

Hướng dẫn. Làm như hai bài trên. Gọi S_n là vế trái nhân với \dfrac{2^{n+1}}{n+1}, cố gắng chứng minh 2S_{n+1}=S_n+\dfrac{2}{n+2}\Box.

Bài 5.9. Chứng minh rằng nếu m,nk là các số nguyên dương thoả mãn k\leq\min\{m,n\} thì C_{m+n}^k=\sum_{i=0}^kC_m^iC_{n}^{k-i}.

Hướng dẫn. So sánh hệ số trong khai triển (x+1)^{m+n} hoặc đếm bằng hai cách khác nhau số hội đồng gồm k người có thể lập từ m nam và n nữ \Box.

Bài 5.10. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì

(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+(C_n^2)^2+\cdots+(C_n^n)^2=C_{2n}^n.

Hướng dẫn. Đây là trường hợp đặc biệt của bài trên \Box.

Bài 5.11. Cho n,k là các số nguyên dương thoả mãn n\geq k+3. Chứng minh rằng các số C_n^k,C_n^{k+1},C_n^{k+2},C_n^{k+3} không thể lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó.

Lời giải. Đặt f(k)=C_n^k+C_n^{k+2}-2C_n^{k+1}. Nếu các số đó làm thành một cấp số cộng thì f(k)=f(k+1)=0 hay k,k+1 là các nghiệm của phương trình bậc hai (x+1)(x+2)+(n-x-1)(n-x)-2(n-x)(x+2)=0.

Nhưng vì f(n-k-2)=f(k) nên các số n-k-2,n-k-3 cũng là nghiệm của phương trình trên, suy ra n=2k+3, điều này là không thể khi dùng Bài 5.1 \Box.

Bài 5.12. Chứng minh các đẳng thức sau với n ở đây là số nguyên dương

a)\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k+1}\cdot C_n^k=\dfrac{1}{n+1};

b)\sum_{k=0}^nk(C_n^k)^2=nC_{2n-1}^{n-1}.

Bài 5.13. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có

\sum_{k=0}^{[n/2]}(C_n^k-C_n^{k-1})^2=\dfrac{1}{n+1}\cdot C_{2n}^n.

Bài 5.14. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có

\sum_{k=0}^nC_{n+k}^n\cdot\dfrac{1}{2^k}=2^n.

Bài 5.15. Với mỗi số nguyên dương n hãy tính tổng sau

\sum_{p=0}^n(-1)^pC_{2n-p}^p.

Đáp số. -1,0,1\Box.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s