China National Olympiad 2011


Bài 1. Cho a_1,a_2,\ldots,a_n là các số thực. Chứng minh rằng

\sum_{i=1}^na_i^2-\sum_{i=1}^n a_i a_{i+1} \le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor(M-m)^2, ở đây a_{n+1}=a_1,M=\max_{1\le i\le n} a_i,m=\min_{1\le i\le n} a_i.

Bài 2. Trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác nhọn ABC, D là điểm chính giữa của \stackrel{\frown}{BC}, gọi X là một điểm trên \stackrel{\frown}{BD}, E là điểm chính giữa của \stackrel{\frown}{AX}, S nằm trên  \stackrel{\frown}{AX}, đường thẳng SDBC giao nhau tại R, các đường thẳng SEAX giao nhau tại T. Nếu RT \parallel DE. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của tam giác ABC nằm trên RT.

Bài 3. Cho A là tập hữu hạn các số thực,A_1,A_2,\cdots,A_n là các tập con khác rỗng của A sao cho

(a) Tổng các phần tử của A bằng 0,

(b) Với mỗi x_i \in A_i(i=1,2,\cdots,n), ta có x_1+x_2+\cdots+x_n>0.

Chứng minh rằng tồn tại 1\le k\le n,1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n, sao cho |A_{i_1}\bigcup A_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_k}|<\frac{k}{n}|A|.

Bài 4. Cho n là một số nguyên dương, tập S=\{1,2,\cdots,n\}. Với mỗi hai tập khác rỗng AB, tìm giá trị bé nhất của |A\Delta S|+|B\Delta S|+|C\Delta S|, ở đây C=\{a+b|a\in A,b\in B\}, X\Delta Y=X\cup Y-X\cap Y.

Bài 5. Cho a_i,b_i,i=1,\cdots,n là các số thực không âm và n>3 sao cho a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n>0. Tìm giá trị lớn nhất của \dfrac{\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)}{\sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)}.

Bài 6. Cho m,n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng có vô hạn cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho a+b| am^a+bn^b\gcd(a,b)=1.

Download bản pdf