Đề thi chọn HSG QG năm 2011, ngày thứ hai


Bài 5. Cho dãy số nguyên (a_n)  xác định bởi a_0 =1, a_1=-1,a_n=6a_{n-1} + 5a_{n-2} với mọi n \geq 2. Chứng minh rằng a_{2012}-2010  chia hết cho 2011.

Bài 6. Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc ABC, ACB là các góc nhọn. Xét 1 điểm D di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B, C và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng d vuông góc với BC tại D cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại E và F. Gọi M,N và P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng 4 điểm A, M, N, P cùng nằm trên 1 đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 7. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức P(x,y) = x^n + xy + y^n không thể viết dưới dạng P(x,y) = G(x,y)H(x,y). Trong đó G(x,y) và H(x,y) là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng.