Test 7


Bài 1. (4 điểm)

Cho dãy (u_n) xác định bởi u_1=2,u_2=3u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n với mỗi số nguyên dương n. Chứng minh rằng dãy (v_n) xác định bởi v_n=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{u_i}\,\, (n=1,2,\cdots) là dãy hội tụ.

Bài 2. (4 điểm)

Cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ nằm bên trong nó. Gọi A_1,B_1,C_1 là hình chiếu của M lên BC,CA,AB tương ứng. Chứng minh rằng \cot\widehat{AA_1B}+\cot\widehat{BB_1C}+\cot\widehat{CC_1A}=0.

Bài 3. (4 điểm)

Cho ba số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng xyz=x+y+z+2 khi và chỉ khi có các số thực dương a,b,c thoả mãn x=\dfrac{b+c}{a},y=\dfrac{c+a}{b},z=\dfrac{a+b}{c}.

Bài 4. (4 điểm)

Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu R_n là số tự nhiên có n chữ số và các chữ số này đều bằng 1. Chứng minh rằng

a) 41|R_n khi và chỉ khi 5|n;

b) 91|R_n khi và chỉ khi 6|n.

Bài 5. (4 điểm)

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB, D là một điểm nằm trên đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại AD cắt nhau ở C. Gọi E là hình chiếu của D trên AB, gọi I là giao điểm của BCDE. Chứng minh rằng DI=IE.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s