Test 4


Bài 1. (Đại số, 7 điểm)

Cho (L_n) là dãy Lucas xác định bởi L_1=1,L_2=3L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng

a) L_n=\alpha^n+\beta^n\,\forall n\geq 1, với \alpha,\beta là các số thực thoả mãn \alpha+\beta=1\alpha\beta=-1;

b) L_n^2=L_{2n}+2(-1)^n\,\forall n\geq 1;

c) L_nL_{n+1}-L_{2n+1}=(-1)^n\,\forall n\geq 1;

d) L_n^2-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^n\,\forall n\geq 2;

e) L_{2n}+7(-1)^n=L_{n-2}L_{n+2}\,\forall n\geq 3.

Bài 2. (Lý thuyết số, 4 điểm)

a) Cho m là một số nguyên dương chẵn và \{a_1,a_2,\cdots,a_m\},\{b_1,b_2,\cdots,b_m\} là hai hệ thặng dư đầy đủ mô đun m. Chứng minh rằng \{a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_m+b_m\} không phải là hệ thặng dư đầy đủ mô đun m.

b) Cho \{a_1,a_2,\cdots,a_{101}\}\{b_1,b_2,\cdots,b_{101}\} là hai hệ thặng dư đầy đủ mô đun 101. Hỏi \{a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_{101}b_{101}\} có phải là hệ thặng dư đầy đủ mô đun 101 hay không?

Bài 3. (Hình học, 3 điểm)

Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC và về phía ngoài tam giác ta dựng các tam giác cân ABC_1,BCA_1,CAB_1 với các đáy tương ứng là AB,BC,CA. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A,B,C tương ứng vuông góc với B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1 đồng quy.

Bài 4. (Tổ hợp, 3 điểm)

Cho 2n-giác đều A_1A_2\cdots A_{2n}, ở đây n>1 là một số nguyên. Đặt S=\{A_1,A_2,\cdots,A_{2n}\}. Biết rằng số các tam giác có 3 đỉnh trong S bằng 20 lần số các hình chữ nhật có 4 đỉnh trong S. Tìm n.

Bài 5. (Tổ hợp, 3 điểm)

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề phải có đủ ba loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? (Thứ tự các câu hỏi trong đề kiểm tra là không quan trọng)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s