Đề thi chọn HSG vòng 2


Bài 1. (4 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho giá trị của biểu thức x^n+y^n+z^n không đổi với mỗi x,y,z\in\mathbb{R} thoả mãn x+y+z=0xyz=1.

Bài 2. (5 điểm)

Cho (a_n)_{n\geq 0} là một dãy các số thực khác 0 thoả mãn a_{n+1}=\dfrac{a_n^2-1}{2a_n}\,\,\forall n\in\mathbb{N}. Chứng minh rằng dãy này chứa vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm.

Bài 3. (5 điểm)

Tìm tất cả các cặp (m,n) các số nguyên dương thoả mãn

(m+1)!+(n+1)!=m^2n^2.

Bài 4. (3 điểm)

Các điểm PQ lần lượt nằm trên các đường chéo ACBD của tứ giác lồi ABCD sao cho \dfrac{AP}{AC}+\dfrac{BQ}{BD}=1. Đường thẳng PQ cắt các cạnh ADBC lần lượt tại MN. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AMP,BNQ,DMQCNP cùng đi qua một điểm nào đó.

Bài 5. (3 điểm)

Cho n là một số nguyên dương, a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n là các số nguyên dương thoả mãn a_1+a_2+\cdots+a_n=2na_n\not =n+1. Chứng minh rằng nếu n là số chẵn thì tồn tại tập con K của \{1,2,\cdots,n\} thoả mãn \sum_{i\in K}a_i=n. Chứng minh rằng điều này cũng đúng khi n là số lẻ nếu ta thêm vào giả thiết a_n\not =2.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s