Đề thi chọn học sinh giỏi Toán vòng 1


Bài 1. (4 điểm)

Giải hệ phương trình sau trên \mathbb{R}

\begin{cases}x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^2-y.\end{cases}

Bài 2. (5 điểm)

Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy (x_n)_{n\geq 0} xác định bởi x_0=ax_{n+1}=\dfrac{1}{4}+x_n-x_n^2\,\,\,\forall n\in\mathbb{N} có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy này trong các trường hợp đó.

Bài 3. (5 điểm)

Cho ABCD là một tứ giác lồi có T là giao điểm của hai đường chéo. Giả sử trực tâm của tam giác ABT trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác CDT. Chứng minh rằng

a) Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp;

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDT nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Bài 4. (3 điểm)

Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn xP(x-1)=(x-17)P(x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 5. (3 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

a) n có đúng 16 ước dương;

b) Nếu kí hiệu các ước dương của n1=d_1<d_2<\cdots<d_{16}=n thì d_6=18d_9-d_8=17.

2 thoughts on “Đề thi chọn học sinh giỏi Toán vòng 1”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s